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RECHERCHES

trouver des formes équivalentes à $f$, et dont les premiers termes jouissent de cette propriété. Car (n^o 228) on peut trouver des nombres premiers à $2dm$, et représentables par cette forme ; or soit $a'$ un tel nombre, on aura $a'=a\alpha ^{2}+2b\alpha \gamma +c\gamma ^{2}$, où l’on peut supposer que $\alpha$, $\gamma$ soient premiers entre eux ; partant, on pourra déterminer deux nombres tels qu’on ait $\alpha \delta -\beta \gamma =1$, et la forme $f$ se changera, par la substitution $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, en une forme $(a',b',c')$ qui lui sera proprement équivalente et jouira de la propriété précitée. Maintenant, comme $F$ et $(a'm,b'm,c'm)$ sont équivalentes, on voit qu’il suffit de considérer le cas où $a$ est premier avec $2dm$. Alors $(a,bm,cm^{2})$ sera une forme proprement primitive, car si $a$, $2bm$ et $cm^{2}$ avaient un diviseur commun, il diviserait nécessairement $2dm=2b^{2}m-2acm$ ; elle sera de même déterminant que $F$, et l’on s’assurera facilement que $F$ se change par la substitution $1$, $0$, $-b$, $-cm$, $0$, $m$, $a$, $bm$, en le produit de la forme $(a,bm,cm^{2})$, par $(m,0,-dm)$, qui sera la plus simple de l’ordre $O$, à moins que la forme $F$ ne soit négative. Il suit de là, par la quatrième conclusion du n^o 235, que $F$ est composée de $(m,0,-dm)$ et $(a,bm,cm^{2})$ ; mais quand $F$ est négative, elle se changera, par la substitution $1$, $0$, $b$, $-cm$ ; $0$, $-m$, $-a$, $bm$, en le produit de la forme $(-m,0,dm)$, qui est la plus simple de cet ordre, par la forme positive $(-a,bm,-cm^{2})$, et parconséquent elle sera composée de ces deux formes.

2^o. Si $f$ est une forme improprement primitive, ou peut supposer que ${\frac {1}{2}}a$ soit premier avec $2dm$, car si cette propriété n’a pas lieu pour la forme $f$, on trouvera toujours une forme qui en jouisse et qui soit proprement équivalente à $f.$ Il suit de là que la forme $\left({\frac {1}{2}}a,bm,cm^{2}\right)$ est une forme proprement primitive de même déterminant que $F$ ; on s’assurera aussi facilement que $F$ se change, par la substitution $1$, $0$, ${\frac {1}{2}}(1\mp b)$, $-cm$ ; $0$, $\pm 2m$, $\pm {\frac {1}{2}}a$, $(b\pm 1)m$, en le produit des formes $\left(\pm 2m,\pm m,\pm {\frac {1}{2}}(m-dm)\right)$, $\left(\pm {\frac {1}{2}}a,bm,\pm 2cm^{2}\right)$, et que parconséquent elle est composée de ces deux formes, dont la première est la plus simple de l’ordre $O$, et la seconde une forme proprement primitive positive. Les signes inférieurs doivent être pris quand $F$ est une forme négative, et les signes supérieurs dans les autres cas.