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ARITHMÉTIQUES.

Au reste, on peut tirer de là plusieurs artifices utiles dans la pratique ; mais nous sommes forcés de ne pas nous arrêter plus long-temps sur ce sujet, pour passer à des choses plus difficiles,

244. Si un nombre $a$ peut être représenté par une certaine forme $f,$ et un nombre $a'$ par la forme $f',$ que d’ailleurs la forme $F$ soit transformable en $ff'\,;$ on voit sans peine que le produit $aa'$ peut être représenté par la forme $F.$ Il suit de là que lorsque les déterminans de ces formes sont négatifs, la forme $F$ sera positive, si $f$ et $f'$ sont ou toutes deux positives, ou toutes deux négatives, et négative, si l’une est positive et l’autre négative. Arrêtons-nous particulièrement sur le cas que nous avons considéré au n^o précédent, où $F$ est composée de $F,$ $f',$ et où $F,$ $f,$ $f'$ ont le même déterminant $D\,;$ supposons encore que les représentations des nombres $a$, $a'$ par les formes $f,$ $f'$ se fassent par des valeurs premières entre elles des indéterminées, que la première appartienne à la valeur $b$ de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {a}},$ et la seconde à la valeur $b'$ de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {a}}',$ et que l’on prenne $c={\frac {b^{2}-D}{a}},$ $c'={\frac {b'^{2}-D}{a'}}\,;$ alors (n^o 168), les formes $(a,b,c),$ $(a',b',c')$ seront proprement équivalentes aux formes $f,$ $f',$ donc $F$ sera composée de ces deux formes ; mais la forme $(A,B,C)$ sera composée des deux mêmes formes si, $\mu$ étant le plus grand commun diviseur des nombres $a,$ $a',$ $b+b',$ on fait $A={\frac {aa'}{\mu ^{2}}},$ $B\equiv b{\pmod {\frac {a}{\mu }}},$ $\equiv b'{\pmod {\frac {a'}{\mu }}}$ et $C={\frac {B^{2}-D}{A}}\,;$ donc cette forme sera proprement équivalente à la forme $F.$ Or le nombre $aa'$ se représente par la forme $Ax^{2}+2bxy+Cy^{2},$ en faisant $x=\mu ,$ $y=0,$ dont le plus grand diviseur commun est $\mu \,;$ donc $aa'$ pourra être représenté par la forme $F,$ de manière que les valeurs des indéterminées aient un diviseur commun $\mu$ (n^o 166). Donc toutes les fois que $\mu =1,$ $aa'$ pourra être représenté par $F$, au moyen de valeurs premières entre elles des indéterminées, et cette représentation appartiendra à la valeur $B$ de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {aa'}},$ qui est congrue à $b,$ $b',$ suivant les modules $a,$ $a'.$ La condition $\mu =1$ a lieu quand $a$ est premier avec $a',$ ou plus généralement, quand le plus grand commun diviseur de $a,$ $a'$ est premier avec $b+b'.$

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