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RECHERCHES

Ainsi dans cette solution la valeur de $A$ ne dépend pas des nombres $\pi$, $\pi '$, $\pi ''$, $\pi '''$, qui peuvent être déterminés d’un nombre infini de manières ; à l’égard de $B$, il aura des valeurs différentes quand on en donnera d’autres à ces mêmes nombres, et il sera utile de chercher la liaison de ces valeurs de $B$.

1^o . De quelque manière qu’on détermine$\pi$, $\pi '$, $\pi ''$, $\pi '''$, les valeurs de $B$ qui en résultent sont congrues suivant le module ${\displaystyle }$. Supposons en effet qu’en faisant $\pi =\varpi$, $\pi '=\varpi '$, $\pi ''=\varpi ''$, $\pi '''=\varpi '''$, on ait ${\displaystyle }$, et qu’en faisant $\pi =\varpi +\delta$, $\pi '=\varpi '+\delta '$, $\pi ''=\varpi ''+\delta ''$, $\pi '''=\varpi '''+\delta '''$ on ait $B=\beta +\Delta$, il en résultera les deux équations de condition.

$a\delta '+a'\delta +(b+b')\delta '''=0\quad aa'\delta +ab'\delta '+ab'\delta ''+(bb'+D)\delta '''=\mu \Delta \ ;$

multipliant le premier membre de la seconde équation par $a\varpi '+a'\varpi ''+(b+b')\varpi '''$, et le second par $\mu$, et retranchant du premier produit la quantité

$(ab'\varpi '+a'b\varpi ''+(bb'+D)\varpi ''')(a\delta '+a'\delta ''+(b+b')\delta '''),$

qui est évidemment $=0$, en vertu de la première équation, on trouvera, réduction faite,

$\mu ^{2}\Delta =aa'\left\{\mu \delta +((b'-b)\varpi ''+c'\varpi '')\delta '+((b'-b)\varpi '+c'\varpi ''')\delta ''-(c'\varpi '+c\varpi '')\delta '''\right\},$

et partant, $\mu ^{2}\Delta$ est divisible par $aa'$, ou $\Delta$ par ${\frac {aa'}{\mu ^{2}}}=A$.

2^o . Si l’on rend $B=\beta$ en faisant $\pi =\varpi ,$ $\pi '=\varpi ',$ $\pi ''=\varpi '',$ $\pi '''=\varpi ''',$ on peut trouver pour ces nombres d’autres valeurs qui rendent $B$ égal à un nombre quelconque donné congru à $\beta ,$ suivant le module $A,$ c’est-à-dire, telles qu’on ait $B=\beta +kA.$ Observons d’abord que les nombres $\mu ,$ $c,$ $c',$ $b-b'$ ne peuvent avoir de diviseur commun, car s’ils en avaient un, il diviserait les six nombres $a,$ $a',$ $b+b',$ $c,$ $c',$ $b-b',$ et partant, les six nombres $a,$ $2b,$ $c,$ $a',$ $2b',$ $c',$ et parconséquent $m$ et $m'$ qui sont premiers entre eux par hypothèse. Ainsi on peut assigner quatre nombres entiers $h,$ $h',$ $h'',$ $h''',$ tels qu’on ait $h\mu +h'c+h''c'+h'''(b-b')=1\,:$ cela fait, si l’on prend $kh=\delta ,$ $k\left\{h''(b+b')-h'''a'\right\}=\mu \delta ',$ $k\left\{h'(b+b')-h'''a\right\}=\mu \delta '',$ $-k\left\{h'a'-h''a\right\}=\mu \delta '''\,;$ il est clair que $\delta ,$ $\delta ',$ $\delta '',$ $\delta '''$ sont des nombres entiers, et l’on s’assurera facilement qu’on a

$a\delta '+a'\delta ''+(b+b')\delta '''=0,$

$aa'\delta +ab'\delta '+a'b\delta ''+(bb'+D)\delta '''=aa'{\frac {k}{\mu }}(\mu h+ch'+c'h''+(b-b')h''')=\mu kA.$