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ARITHMÉTIQUES.

que les formes composées des mêmes formes sont toujours proprement équivalentes. Or il est évident que si les formes $f$ , $f'$ , $f''$ , etc. sont proprement équivalentes aux formes $g$ , $g'$ , $g''$ , etc., la forme composée des premières est proprement équivalente à la forme composée des dernières.

242. Les propositions précédentes renferment la composition des formes dans sa plus grande généralité ; passons maintenant à des applications plus particulières, par lesquelles nous n’avons pas voulu interrompre l’ordre du sujet. Nous commencerons par reprendre le problème du n^o 236, que nous limiterons par les conditions suivantes : 1^o . que les formes à composer aient le même déterminant, ou qu’on ait $d=d'$ ; 2^o . que $m$ et $m'$ soient premiers entre eux ; 3^o . que la forme cherchée soit composée directement des formes $f$ , $f'$ . Il suit de là que $m^{2}$ et $m'^{2}$ seront aussi premiers entre eux ; donc on aura $D=d=d'$ , puisque $D$ doit être le plus grand commun diviseur des nombres $dm'^{2}$ et $d'm^{2}$ ; donc $n=n'=1$ . Comme les quatre nombres $K$ , $K'$ , $K''$ , $K'''$ peuvent être pris à volonté, supposons-les $=-1$ , $0$ , $0$ , $0$ , ce qui sera toujours permis, à moins qu’on n’ait à-la-fois $a=a'=b+b'=0$ , cas dont nous ne nous occuperons parconséquent pas ici, mais qui ne peut avoir lieu que pour les formes de déterminant positif quarré. Alors $\mu$ sera le plus grand diviseur commun aux nombres $a$ , $a'$ , $b+b'$ , et les nombres $\pi '$ , $\pi ''$ , $\pi '''$ doivent être pris de manière qu’on ait $\pi 'a+\pi ''a'+\pi ''(b+b')=\mu$ ; quant à $\pi$ , il reste entièrement indéterminé. On tire de là, en substituant pour $p$ , $q$ , $p'$ , $q'$ , etc. leurs valeurs,

$A$	$={\frac {aa'}{\mu ^{2}}}$
$B$	$={\frac {1}{\mu }}\left(\pi aa'+\pi 'ab'+\pi ''a'b+\pi '''(bb'+D)\right)$
$C$	$={\frac {B^{2}-D}{A}}$ ^[1].

↑ Si l’on avait $a=a'=1$ , $b=b'$ , $c=c'$ , on trouverait $p=1$ , $q=0,$ $q'=1,$ $q''=1,$ $q=2b,$ et $(\pi '+\pi '')a+\pi '''b=1\,;$ or on a
$p=\pi '+\pi ''+2\pi '''b=1$ , $p'=\pi '''c-\pi$ , $p''=\pi '''c-\pi$ , $p'''=-(\pi '+\pi '')-2\pi b$ ;
et l’on satisfera à l’équation de condition en prenant $\pi '''=1$ et $\pi '+\pi ''=1-2b\pi =c$ , ce qui donne
$p'=0,\quad p''=0\quad et\quad p'''=-c.$

On a donc $X=xx'-cyy'$ … $Y=xy'+yx'+2byy'$ ; d’ailleurs $A=1$ … $B=\pi a''+(\pi '+\pi '')ab+\pi '''(b^{2}+D)=b$ , $C=c$ . Résultat de Lagrange. (Supplément à l’Algèbre d’Euler, p. 642). (Note du Traducteur.)

K k^*

[1] Si l’on avait $a=a'=1$ , $b=b'$ , $c=c'$ , on trouverait $p=1$ , $q=0,$ $q'=1,$ $q''=1,$ $q=2b,$ et $(\pi '+\pi '')a+\pi '''b=1\,;$ or on a
$p=\pi '+\pi ''+2\pi '''b=1$ , $p'=\pi '''c-\pi$ , $p''=\pi '''c-\pi$ , $p'''=-(\pi '+\pi '')-2\pi b$ ;
et l’on satisfera à l’équation de condition en prenant $\pi '''=1$ et $\pi '+\pi ''=1-2b\pi =c$ , ce qui donne
$p'=0,\quad p''=0\quad et\quad p'''=-c.$

On a donc $X=xx'-cyy'$ … $Y=xy'+yx'+2byy'$ ; d’ailleurs $A=1$ … $B=\pi a''+(\pi '+\pi '')ab+\pi '''(b^{2}+D)=b$ , $C=c$ . Résultat de Lagrange. (Supplément à l’Algèbre d’Euler, p. 642). (Note du Traducteur.)

[1]