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ARITHMÉTIQUES.

IV. Il serait trop long de faire ici le calcul pour ces trente-sept équations ; il suffira de le placer pour quelques-unes, afin de donner un type d’après lequel on puisse trouver les autres.

1o.	$rs'-r's$	$=$		$p^{2}(\pi \chi '-\pi '\chi )$
			$+$	$(\pi \chi '''-\pi '''\chi -\pi '\chi ''+\pi ''\chi ')pq$
			$+$	$(\pi ''\chi '''-\pi '''\chi '')q^{2}$
		$=$		$\nu ''(Ap^{2}+2Bpq+Cq^{2})$
		$=$		$\nu ''aa'$………………………… première équation
2o.	$rs''-r''s$	$=$		$(pq'-p'q)(\pi \chi ''-\pi ''\chi )$
		$=$		$an'a''N$
		$=$		$aa''\nu '$………………………… deuxième équation
3o.	$rs^{VII}-r^{VII}s$	$=$		$(\pi \chi '-\pi '\chi )pp'''+(\pi \chi '''-\pi '''\chi )pq'''$
		$=$		$(\pi \chi ''-\pi ''\chi )p'''q+(\pi ''\chi '''-\pi '''\chi '')qq'''$
		$=$		$n''(bb'+{\sqrt {dd'}}+b''N(bn+b'n')$
		$=$		$bb'\nu ''+b'b''\nu +bb''\nu '+\Delta \nu \nu '\nu ''$,
				puisque ${\sqrt {dd'}}=\Delta \nu \nu '$ ($\nu .$ III)
				...... septième équation de Θ.

Les autres se trouveront de la même manière.

V. Des équations Θ, il suit, comme on va le voir, que les vingt-huit nombres $rs'-r's$, $rs''-r''s$, etc. n’ont aucun diviseur commun. Nous observerons d’abord qu’avec les nombres $a$, $2b$, $c$ ; $a'$, $2b'$, $c'$ ; $a''$, $2b''$, $c''$ ; $\nu$, $\nu '$, $\nu ''$ on peut former vingt-sept produits de trois facteurs, tels que l’un de ces facteurs étant $\nu$, le second sera un des nombres $a'$, $2b'$, $c'$, et le troisième un des nombres $a''$, $2b''$, $c''$ ; ou bien, le premier étant $\nu ''$, le second sera l’un des nombres $a$, $2b$, $c$, et le troisième un des nombres $a'$, $2b'$, $c'$ ; ou enfin le premier étant $\nu ''$, le second sera l’un des nombres $a$, $2b$, $c$, et le troisième un des nombres $a'$, $2b'$, $c'$. Or on s’assurera aisément, d’après les équations Θ, que chacun de ces produits est égal à l’un des nombres $rs'-r's$, etc., ou à la somme de plusieurs, ou à leur différence. Si donc ces derniers nombres avaient un commun diviseur, les vingt-sept produits en auraient un. Mais il est facile de prouver, à l’aide du n^o 40, par une méthode souvent employée dans ce qui précède, que ce diviseur devrait aussi diviser les nombres $\nu m'm''$, $\nu 'mm''$, $\nu ''mm'$, et partant leurs quarrés, qui sont ${\frac {dm'^{2}m''^{2}}{\Delta }}$, ${\frac {d'm^{2}m''^{2}}{\Delta }}$, ${\frac {d''m^{2}m'^{2}}{\Delta }}$. Mais (I) $\Delta$ est le plus grand commun diviseur des trois numérateurs ; donc les fractions sont premières entre elles, et n’ont parconséquent pas de diviseur commun.

VI. Tout ce que nous avons dit jusqu’à présent regarde la transformation de $\varphi$ en $ff'f''$ et est tiré de celle de la forme $F$.

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