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RECHERCHES
SECTION SECONDE.
Des Congruences du premier degré.
13. Théorème. Le produit de deux nombres positifs plus petits qu’un nombre premier donné, ne peut être divisé par ce nombre premier.
Soit
le nombre premier et
et
je dis qu’on ne pourra
trouver aucun nombre positif
plus petit que
qui rende
![{\displaystyle ab\equiv 0\ {\text{(module}}\ p{\text{)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3312a981334eea3a26746f747eb191440d57a1f8)
En effet, s’il peut y en avoir, supposons que ce soient les nombres
tous plus petits que
ensorte qu’on ait
soit
le plus petit de tous, desorte
qu’on n’en puisse supposer un plus petit que
on aura évidemment
car si
on aurait
et partant non divisible par
Or
comme nombre premier ne peut être divisé par
mais tombera entre deux multiples de
Soit
sera positif et
Or nous avons supposé
on aura donc
et retranchant de
on aura
donc
devrait être mis au rang
des nombres
et serait plus petit que le plus petit de
tous, ce qui est contre la supposition.
14. Si aucun des deux nombres
n’est divisible par un nombre premier
le produit
ne le sera pas non plus.
Soient
et
les résidus minima positifs des nombres
et
suivant le module
aucun d’eux ne sera nul par hypothèse. Or si
l’on avait
comme
on aurait
ce qui serait
contraire au théorème précédent.