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RECHERCHES

SECTION SECONDE.

Des Congruences du premier degré.

13. Théorème. Le produit de deux nombres positifs plus petits qu’un nombre premier donné, ne peut être divisé par ce nombre premier.

Soit $p$ le nombre premier et $a<p$ et $>0\ ;$ je dis qu’on ne pourra trouver aucun nombre positif $b,$ plus petit que $p,$ qui rende

$ab\equiv 0\ {\text{(module}}\ p{\text{)}}.$

En effet, s’il peut y en avoir, supposons que ce soient les nombres $b,\ c,\ d,\,{\text{etc.}},$ tous plus petits que $p,$ ensorte qu’on ait $ab\equiv 0,\,ac\equiv 0,\,{\text{etc.}},{\pmod {p}},$ soit $b$ le plus petit de tous, desorte qu’on n’en puisse supposer un plus petit que $b,$ on aura évidemment $b>1,$ car si $b=1,$ on aurait $ab=a<p$ et partant non divisible par $p.$ Or $p$ comme nombre premier ne peut être divisé par $b,$ mais tombera entre deux multiples de $b,\ mb\ et\ (m+1)b.$ Soit $p-mb=b^{\prime },\ b^{\prime }$ sera positif et $<b.$ Or nous avons supposé $ab\equiv 0{\pmod {p}},$ on aura donc $mab\equiv 0\ ;$ et retranchant de $ap\equiv 0$ on aura $a(p-mb)=ab^{\prime }\equiv 0\ ;$ donc $b^{\prime }$ devrait être mis au rang des nombres $b,c,d,\ {\text{etc.}},$ et serait plus petit que le plus petit de tous, ce qui est contre la supposition.

14. Si aucun des deux nombres $a\ et\ b$ n’est divisible par un nombre premier $p,$ le produit $ab$ ne le sera pas non plus.

Soient $\alpha$ et $\beta$ les résidus minima positifs des nombres $a$ et $b,$ suivant le module $p,$ aucun d’eux ne sera nul par hypothèse. Or si l’on avait $ab\equiv 0,$ comme $ab\equiv \alpha \beta ,$ on aurait $\alpha \beta \equiv 0,$ ce qui serait contraire au théorème précédent.