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RECHERCHES

premières des équations (Ω), on trouvera qu’elles sont satisfaites à l’aide de l’équation $\pi q+\pi 'q'+\pi ''q''+\pi '''q'''=1$ et des équations (III). Les trois dernières ont déjà lieu par hypothèse ; donc la forme $F$ se changera en $ff'$ par la substitution $p$, $p'$, $p''$, $p'''$, $q$, $q'$, $q''$ $q'''$, et son déterminant sera $D$, qui est égal au plus grand commun diviseur des nombres $dm'^{2}$, $d'm^{2}$ donc par la quatrième conclusion du n^o précédent, $F$ sera composée de $f$, $f'$.

237. Théorème. Si la forme $\mathrm {F}$ est transformable en le produit de deux formes $\mathrm {f} ,$ $\mathrm {f'} ,$ et que la forme $\mathrm {f'}$ renferme la forme $\mathrm {f''}$ $\mathrm {F}$ pourra aussi se transformer en $\mathrm {ff''} .$

Conservons pour les formes $F$, $f$, $f'$ les signes du n^o 235, soit $f''=(a'',b'',c'')$, et $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ la transformation qui change $f'$. en $f''$. On voit alors sans peine que $F$ se change en $ff''$ par la substitution $\alpha p+\gamma p'$, $\beta p+\delta p'$, $\alpha p''+\gamma p'''$, $\beta p''+\delta p'''$, $\alpha q+\gamma q'$, $\beta q+\delta q'$, $\alpha q''+\gamma q'''$, $\beta q''+\delta q'''$.

Représentons, pour abréger, ces coefficiens par $r$, $r'$, $r''$, $r'''$ ; $s$, $s'$, $s''$, $s''',$ et faisons $\alpha \delta -\beta \gamma =e$, en appliquant ici les équations Ω du n^o 235. On trouve

$rs'-r's$	$=an'e,$	$rs'''-r'''s-(r's''-r''s')$	$=2bn'e,$	$r''s'''-r'''s''$	$=cn'e,$
$rs''-r''s$	$=an'',$	$rs'''-r'''s+(r's''-r''s')$	$=2b''n,$	$r''s'''-r'''s''$	$=c''n,$
$s's''-ss'''$	$=Ann'e,$	$rs'''+r'''s-r's''-r''s'$	$=2Bnn'e,$	$r'r''-rr'''$	$=Cnn'e,$

donc en représentant par $d''$ le déterminant de $f''$, et faisant ${\frac {d''}{D}}=n''$, on aura $n''=n'e$ parceque ${\sqrt {\frac {d'}{D}}}=n'$, et que $e=\pm {\sqrt {\frac {d''}{d'}}}$ suivant que la forme $f'$ renferme $f''$ proprement ou improprement ; ainsi dans la transformation de $F$ en $ff''$ la forme$f''$ entrera de la même manière que $f'$ dans la transformation de $F$ en $ff'$, ou d’une manière différente, suivant que $e$ sera positif ou négatif, c’est-à-dire, suivant que $f'$ renfermera $f''$ proprement ou improprement.

238. Théorème. Si la forme $\mathrm {F'}$ renferme $\mathrm {F} ,$ et que $\mathrm {F}$ puisse se changer en $\mathrm {ff'} ,$ la forme $\mathrm {F'}$ pourra aussi se changer en $\mathrm {ff'} .$.

Conservons pour les formes $F$, $f$, $f'$ les mêmes signes que plus haut, et supposons que $F'$ se change en $F$ par la substitution $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, on voit facilement que $F'$ se changera en $ff'$ par la substitution