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RECHERCHES

$q''$, $q'''$, en le produit des formes $(a,b,c)$, $(a',b',c')$, et qu’on a en outre $b^{2}-ac=n^{2}(B^{2}-AC)$, $b'^{2}-a'c'=n'^{2}(B^{2}-AC)$. Nous laissons à l’intelligence du lecteur ce calcul, qui est trop prolixe.

236. Problème. Étant données deux formes dont les déterminans sont égaux, ou du moins comme deux nombres quarrés, trouver une forme composée de ces deux formes.

Soient $f=(a,b,c)$, $f'=(a',b',c')$ les formes à composer ; $d$, $d'$ leurs déterminans ; $m$, $m'$ les plus grands diviseurs communs des nombres $a$, $2b$, $c$ ; $a'$, $2b'$, $c'$ respectivement, et $D$ le plus grand commun diviseur des nombres $dm'^{2}$, $d'm^{2}$ pris avec le même signe que $d$ et $d'$. Alors ${\frac {d'm^{2}}{D}}$ et ${\frac {dm'^{2}}{D}}$ seront des nombres positifs premiers entre eux dont le produit sera un quarré, ainsi chacun d’eux sera un quarré (n^o 21). Ainsi ${\sqrt {\frac {d}{D}}}$ et ${\sqrt {\frac {d'}{D}}}$ seront des quantités rationnelles que nous représenterons par $n$ et $n'$, en prenant $n$ positif ou négatif, suivant que la forme $f$ doit entrer directement ou indirectement dans la composition, et de même à l’égard de $n'$. $mn'$ et $m'n$ seront parconséquent des entiers premiers entre eux ; quant à $n$, $n'$, ils peuvent être fractionnaires. Cela fait, nous observerons que $an'$, $cn'$, $a'n$, $c'n$, $bn'+b'n$, $bn'-b'n$ sont des nombres entiers, ce qui est évident pour les quatre premiers, et qu’on démontrera pour les deux autres, comme on a démontré que $R$ et $S$ étaient divisibles par $e$.

Soient pris maintenant quatre nombres entiers $K$, $K'$, $K''$, $K'''$ à volonté, pourvu qu’ils ne rendent pas zéro à-la-fois les premiers membres des quatre équations suivantes, et qu’on suppose

	$K'an'$	$+$	$K''a'n$	$+$	$K'''(bn'+b'n)$	$=\mu q$,	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\\\ \\\ \ \end{matrix}}\right\}$	…… (I).
$-$	$Kan'$	$+$	$K'''c'n$	$-$	$K''(bn'-b'n)$	$=\mu q'$
${\displaystyle }$	$K'''cn'$	$-$	$Ka'n$	$+$	$K'(bn'-b'n)$	$=\mu q''$
$-$	$K''cn'$	$-$	$K'c'n$	$-$	$K(bn'+b'n)$	$=\mu q'''$

de manière que $q$, $q'$, $q''$, $q'''$ soient des nombres entiers premiers entre eux, ce qu’on obtiendra en prenant pour ${\displaystyle }$ le plus grand commun diviseur des quatre premiers membres. On pourra alors trouver quatre nombres $\pi$, $\pi '$, $\pi ''$, $\pi '''$ tels qu’on ait

$\pi q+\pi 'q'+\pi ''q''+\pi '''q'''=1$

et cela fait on déterminera $p$, $p'$, $p''$, $p'''$, par les équations suivantes :