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RECHERCHES

que leur rapport est celui de $1$ à $\mathrm {n'} ,$ $\mathrm {n'}$ sera la racine quarrée de $\mathrm {\frac {d'}{D}} \,:$ de même, les nombres $\mathrm {a'} ,$ $\mathrm {2b'} ,$ $\mathrm {c'}$ sont proportionnels aux nombres $\mathrm {Q} ,$ $\mathrm {R+S} ,$ $\mathrm {T} \,;$ et si l’on suppose que leur rapport est celui de $1$ à $\mathrm {n} ,$ $\mathrm {n}$ sera la racine quarrée de $\mathrm {\frac {d}{D}} .$

Au reste les quantités $n$, $n'$ peuvent être les racines positives ou négatives de ${\frac {d}{D}}$ et ${\frac {d'}{D}}$, d’où nous tirons une distinction qui paraît stérile au premier abord, mais dont l’usage se reconnaîtra par la suite. Nous dirons que dans la transformation de $F$ en $ff'$, la forme $f$ est prise directement quand $n$ est positif, indirectement quand $n$ est négatif, et de même à l’égard de $f'$. Mais en ajoutant la condition que $k=1$, nous dirons que la forme $F$ est composée ou directement des deux formes $f$, $f'$, ou indirectement de ces deux mêmes formes, ou directement de $f$ et indirectement de $f'$, ou directement de $f'$ et indirectement de $f$, suivant que les deux nombres $n$, $n'$ seront positifs ou négatifs, ou que $n$ sera positif et $n'$ négatif, ou $n$ négatif et $n'$ positif. D’ailleurs on voit facilement que ces relations ne dépendent pas de l’ordre dans lequel ces formes sont placées.

Or nous observons que le plus grand diviseur commun $k$ des nombres $P,$ $Q,$ $R,$ $S,$ $T,$ $U$ divise les nombres $mn'$, $m'n$ ce qui résulte des valeurs établies plus haut pour ces nombres, et que parconséquent $k^{2}$ doit diviser $m^{2}n'^{2}$, $m'^{2}n^{2}$, et $Dk^{2}$ les nombres $d'm^{2}$, $dm'^{2}$ ; mais réciproquement tout diviseur commun de $mn'$, $m'n$ divisera aussi $k$. En effet, soit $e$ un de ces diviseurs, il divisera évidemment les nombres $an'$, $2bn'$, $cn'$, $a'n$, $2b'n$, $c'n$, et partant, $P$, $R-S$, $U$, $Q$, $R+S$, $T$ et d’après cela $2R$ et $2S$. Or si ${\frac {2R}{e}}$ était impair, ${\frac {2S}{e}}$ le serait aussi, puisque la somme est paire ainsi que la différence ; leur produit serait donc impair. Mais ce produit est ${\frac {4}{e^{2}}}(b'^{2}n^{2}-b^{2}n'^{2})={\frac {4}{e^{2}}}(d'n^{2}+a'c'n^{2}-dn'^{2}-acn'^{2})={\frac {4}{e^{2}}}(a'c'n^{2}-acn'^{2}),$ et parconséquent pair, puisque $e$ divise $a'n$, $c'n$, $an'$, $cn'$. Donc ${\frac {2R}{e}}$ est nécessairement pair, et partant, $R$ et $S$ sont divisibles par $e$.

Donc