Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/251

229

ARITHMÉTIQUES.

Par cette distinction nous avons trouvé le principe qui nous servira à distribuer par ordres toutes les classes de formes de déterminant donné.

Nous rangerons dans le même ordre les deux formes $(a,b,c)$, $(a',b',c')$, si l’on a à-la-fois le même plus grand diviseur commun pour $a$, $b$, $c$ ; $a'$, $b'$, $c'$, pour $a$, $2b$, $c$ et $a'$, $2b'$, $c'$ ; mais si l’une ou l’autre de ces conditions n’a pas lieu, les classes se rapporteront à des ordres différens. Il suit de là immédiatement, que les classes proprement primitives composent un ordre, et toutes les classes improprement primitives, un autre. Si $m^{2}$ est le quarré qui divise le déterminant $D$, les classes dérivées des classes proprement primitives de déterminant $D$ composeront un ordre particulier, et les classes dérivées des classes improprement primitives de déterminant ${\frac {D}{m^{2}}}$ en composeront un autre. Si par hasard $D$ n’est divisible par aucun quarré (excepté $1$), il n’y aura pas d’ordres de classes dérivées, et partant il n’y aura qu’un ordre, lorsque $D\equiv 2$ ou $3{\pmod {4}}$, celui des classes proprement primitives, ou deux, lorsque $D\equiv 1{\pmod {4}}$, celui des classes proprement primitives, et celui des classes improprement primitives.

On déduit sans peine la règle suivante par le calcul des combinaisons (n^o 17). En supposant $D=D'.2^{2\mu }.a^{2\alpha }.b^{2\beta }.c^{2\gamma }$, etc., desorte que $D'$ ne renferme aucun facteur quarré, le nombre des ordres sera $(\mu +1)(\alpha +1)(\beta +1)(\gamma +1)...$ si $D'\equiv 2$ ou $\equiv 3{\pmod {4}}$ ; ou $(\mu +2)(\alpha +1)(\beta +1)(\gamma +1)...$ si $D'\equiv 1{\pmod {4}}$.

Exemple I^er. Si $D=45=5.3^{2}$, on aura six classes dont les représentantes sont :

$(1,0,-45)$,	$(-1,0,45)$,
$(2,1,-22)$,	$(-2,1,22)$,
$(3,0,-15)$,	$(6,3,-6)$,

et elles peuvent se distribuer en quatre ordres,

1^o. $(1,0,-45)$, $(-1,0,45)$, propres ; 2^o. $(2,1,-22)$, $(-2,1,22)$, impropres ; 3^o. la classe $(3,0,-15)$ dérivée d’une classe propre de déterminant $5$ ; 4^o. la classe $(6,3,-6)$ dérivée d’une classe impropre de déterminant $5$.

Exemple II. Les classes positives de déterminant $-99=-11.3^{2}$