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ARITHMÉTIQUES.

et huit autres qui ne diffèrent des précédentes que par le signe des termes extrêmes : $(-1,0,-235)$, $(-2,1,-118)$, etc.

Toutes les formes de déterminant $79$ se distribuent en six classes dont les représentantes sont

$(1,0,-79)$,	$(-1,0,79)$,	$(3,-1,-26)$,
$(-3,-1,26)$,	$(-3,1,26)$,	$(3,1,-26)$.

224. Par cette classification, on sépare des autres toutes les formes qui sont proprement équivalentes ; ainsi deux formes de la même classe sont proprement équivalentes ; tout nombre qui peut être représenté par l’une d’elles, peut l’être par l’autre ; et si un nombre $M$ peut être représenté par la première en donnant des valeurs premières aux indéterminées, il pourra être représenté par la seconde de la même manière, desorte même que les deux représentations appartiennent à la même valeur de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {M}}$. Mais deux formes qui appartiennent à des classes différentes, ne pourront être proprement équivalentes, et l’on ne peut pas conclure de ce qu’un nombre est représentable par l’une d’elles, qu’il le soit par l’autre ; au contraire, nous sommes en droit d’affirmer que si un nombre $M$ peut se représenter par la première, en donnant à $x$, $y$ des valeurs premières entre elles, on ne pourra pas trouver de représentations de ce nombre par l’autre forme, appartenant à la même valeur de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {M}}$ (n^os 167, 168).

Au contraire, comme il peut arriver que deux formes $F$, $F'$, prises dans deux classes différentes $K$, $K'$, soient improprement équivalentes, auquel cas toute forme de la première classe sera improprement équivalente à toute forme de la deuxième ; chaque forme de $K$ aura son opposée dans $K'$, et les classes $K$, $K'$, seront dites opposées. Ainsi, dans le premier exemple de l’article précédent, la troisième classe des formes de déterminant $-235$ est opposée à la quatrième, et la septième à la huitième ; dans le second exemple, la troisième l’est à la sixième, et la quatrième à la cinquième. Étant donc proposées deux formes prises dans des classes opposées, tout nombre qui pourra être représenté par l’une d’elles, pourra l’être aussi par l’autre. Si pour l’une la représentation a lieu par des valeurs premières, il en sera de même pour l’autre, de manière

F f