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ARITHMÉTIQUES.

$q=15y+6$, on en tire l’équation $p^{2}+8pq+q^{2}=-540$. Or on trouve que toutes les solutions de cette équation sont renfermées dans les quatre formules

$p=$	$6t$,——	$q=-$	$24t-90u$ ;
$p=$	$6t$,	$q=-$	$24t+90u$ ;
$p=-$	$6t$,	$q=$	$24t-90u$ ;
$p=-$	$6t$,	$q=$	$24t+90u$ ;

$t$, $u$ étant des nombres indéterminés qui doivent satisfaire à l’équation $t^{2}-15u^{2}=1$, et qui sont donnés par la formule

$t=$	${\frac {1}{2}}$	$\left[\left(4+{\sqrt {15}}\right)^{n}+\left(4-{\sqrt {15}}\right)^{n}\right]$,
$u=$	${\frac {1}{2{\sqrt {15}}}}$	$\left[\left(4+{\sqrt {15}}\right)^{n}-\left(4-{\sqrt {15}}\right)^{n}\right]$,	(no 200).

Ainsi toutes les valeurs de $x$, $y$ seront contenues dans les formules

$x$	$={\frac {1}{5}}(2t+3)$,——	$y=-$	${\frac {1}{5}}(8t+30u+2)$ ;
$x$	$={\frac {1}{5}}(2t+3)$,	$y=-$	${\frac {1}{5}}(8t-30u+2)$ ;
$x$	$={\frac {1}{5}}(-2t+3)$,	$y=$	${\frac {1}{5}}(8t-30u-2)$ ;
$x$	$={\frac {1}{5}}(-2t+3)$,	$y=$	${\frac {1}{5}}(8t+30u-2)$.

En appliquant convenablement ce que nous avons dit plus haut, on trouvera que pour avoir des nombres entiers il faut prendre pour $t$, $u$ dans la première et la seconde formule, les valeurs qui résultent en supposant $n$ pair, et au contraire, dans la troisième et la quatrième, celles qui résultent en le supposant impair. Les solutions les plus simples sont $x=1$, $-1$, $-1$ ; $y=2$, $0$, $12$, respectivement.

Au reste, nous ferons remarquer que la solution du problème précédent peut le plus souvent s’abréger par un grand nombre d’artifices, surtout quand on en vient à l’exclusion des valeurs fractionnaires ; mais nous sommes obligés de ne pas nous y arrêter pour éviter les longueurs.

222. Comme beaucoup des choses que nous avons traitées jusqu’ici l’ont été aussi par d’autres géomètres, nous ne pouvons passer sous silence leurs travaux. Lagrange a fait des Recherches générales sur l’équivalence des formes (nouv. Mém. de l’Acad. de Berlin, 1773, p. 265, et 1775, p. 323), où il prouve surtout que, pour un déterminant donné quelconque, on peut trouver un nombre fini de formes telles, que toute forme de même déterminant soit équivalente à une d’entre elles, et que partant, toutes les formes d’un déterminant donné peuvent se distribuer par classes. Ensuite Legendre a découvert plusieurs propriétés élégantes de cette classification, mais pour la plus grande partie par induction,