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ARITHMÉTIQUES.

ces représentations, et partant, d’essayer si elles donnent pour , des valeurs fractionnaires ou entières, il est nécessaire d’établir une règle par laquelle on puisse s’assurer, quand cela arrive, qu’il n’y a aucune représentation qui donne des valeurs entières pour ,  ; car, sans cette règle, quel que fût le nombre des représentations essayées, on n’arriverait jamais à la certitude, et quand une partie des représentations donne des valeurs entières, et l’autre des valeurs fractionnaires, il faudra savoir distinguer les premières représentations des dernières.

4o. Quand , les formules précédentes ne déterminent pas les valeurs de , . Ainsi, dans ce cas, il faudra avoir recours à une méthode particulière.

217. Dans le cas où est un nombre positif non quarré, nous avons fait voir plus haut que toutes les représentations du nombre par la forme , s’il y en a quelques-unes, peuvent être données par une ou plusieurs formules telles que

 ;


, , , étant des nombres entiers donnés, le plus grand diviseur commun des nombres , ,  ; enfin , des nombres entiers qui satisfont à l’équation . Comme les valeurs de , peuvent être prises positivement et négativement, au lieu des formules précédentes, on peut prendre les quatre suivantes :

,           ;
,  ;
,  ;
,  ;


ensorte que le nombre de toutes les formules soit quatre fois plus grand qu’auparavant, mais que et soient positifs ; examinons donc séparément chacune de ces formules, et cherchons quelles sont les valeurs de , qui donnent des valeurs entières pour , .

La formule

……(1)


donne pour et

E e