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ARITHMÉTIQUES.
III. Il ne reste plus qu’à faire voir comment on peut trouver
toutes les représentations d’un nombre donné par une forme donnée
dont le déterminant . Soit cette forme , il suit
de là que ce nombre doit être divisible par , et que le quotient
doit être un quarré. Ainsi, en représentant ce nombre par ,
on aura à trouver les valeurs de , pour qu’on ait ,
ou ce qui revient au même, . Or cette équation
est toujours résoluble en nombres entiers, puisque et sont
premiers entre eux. On déterminera et de manière qu’on ait
, et l’on aura , ,
où est un nombre entier quelconque.
Comme application des recherches précédentes, nous ajouterons
le problème suivant.
216. Problème. Trouver toutes les solutions en nombres entiers, de l’équation générale du second degré à deux inconnues,
,
[1]
équations
|
,
|
|
,
|
|
;
|
on aura encore , ou .
Si de la première, multipliée par , on retranche la seconde, multipliée par ,
on en déduit sur-le-champ ou et puisqu’on a
et sont premiers entre eux, donc et sont divisibles par et
et par desorte que l’on aura et
étant des indéterminées. Or ces valeurs, substituées dans les trois équations, réduisent chacune d’elles à
Donc nous prouvons à-la-fois, 1o. que doit être représentable par la forme
2o. que s’il est représentable, la transformation de en est possible ;
3o. qu’elle se fait par la substitution , et en même temps qu’on
obtiendra ainsi toutes les transformations. (Note du traducteur).
- ↑ Si l’on proposait une équation dans laquelle le 2e, le 4e et le 5e coefficiens ne fussent pas pairs, cette équation, multipliée par , prendrait la forme que
nous lui supposons.