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RECHERCHES

par la forme $f$ ; 2^o . si $M$ peut être représenté par $f$, la forme $F$ sera renfermée dans $f$ ; 3^o . si, dans ce cas, la formule $x=\xi$, $y=\nu$ donne indéfiniment toutes les représentations du nombre $M$ par la forme $f$ ; les transformations de $f$ en $F$ seront contenues dans la formule $G\xi$, $H\xi$, $G\nu$, $H\nu$.

Supposons que $f$ se change en $F$ par la substitution $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ ; en prenant les nombres $G'$, $H'$, tels qu’on ait $GG'+HH'=1$ ; si l’on fait $x=\alpha G'+\beta H'$, $y=\gamma G'+\delta H'$, la valeur de la forme $f$ devient $M$ et partant, $M$ peut être représenté par $f$ ;

2^o. Si l’on suppose $a\xi ^{2}+2b\xi \nu +c\nu ^{2}=M$, il est évident que par la substitution $G\xi$, $H\xi$, $G\nu$, $H\nu$, la forme $f$ se change en $F$.

3^o. Pour démontrer que la substitution $G\xi$, $H\xi$, $G\nu$, $H\nu$ donne toutes les transformations de $f$ en $F$, si $\xi$, $\nu$ représentent toutes les valeurs de $x,y$ qui rendent $f=M$ ; soit $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ une transformation quelconque de $f$ en $F$, et, comme plus haut, $GG'+HH'=1$, parmi les valeurs de $x,y$ seront les suivantes : $x=\alpha G'+\beta H'$, $y=\gamma G'+\delta H'$, qui donneront la substitution

$G(\alpha G'+\beta H'),\quad H(\alpha G'+\beta H'),\quad G(\gamma G'+\delta H'),\quad H(\gamma G'+\delta H'),$

d’où l’on tire

$\alpha +H'(\beta G-\alpha H)$ ; $\beta +G'(\alpha H-\beta G)\ ;$

$\gamma +H'(\delta G-\gamma H)$ ; $\delta +G'(\gamma H-\delta G)$ ;

mais comme on a

$a(\alpha X+\beta Y)^{2}+2b(\alpha X+\beta Y)(\gamma X+\delta Y)+c(\gamma X+\delta Y)^{2}=M(GX+HY)^{2}\ ;$

on en tire au moyen des trois équations qui en dérivent,

$M(\beta G-\alpha H)^{2}=c(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}$ ; $M(\delta G-\gamma H)^{2}=a(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}.$

Or $\alpha \delta -\beta \gamma =0$, puisque le déterminant de $F$ qui est $=0$, est égal au produit de $\alpha \delta -\beta \gamma$ par le déterminant de $f$ qui n’est pas égal à zéro ; on a donc $\beta G-\alpha H=0$, et partant, la substitution en question se réduit à $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$. Ainsi la formule que nous avons donnée fournit toutes les transformations de $f$ en $F$^[1].

1. On pourrait encore présenter ces différentes propositions de la manière suivante.

   Si la forme $f$ se change en $F$ par la substitution $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, on aura les