Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/230

208

RECHERCHES

le plus grand commun diviseur des nombres $\gamma$, $\delta$, qui ne peuvent être nuls tous les deux, et ${\frac {e}{n}}=m$. Soient les nombres $g$, $h$ tels que $\gamma g+\delta h=n$, $k$ le résidu minimum positif du nombre $\alpha g+\beta h$ suivant le module $m$. Alors la forme $(m;k)$, qui est évidemment une des formes $\Omega$, sera proprement équivalente à la forme $F$, et se changera même en elle par la substitution propre

${\frac {\gamma }{n}}.{\frac {\alpha g+\beta h-k}{m}}+h,\quad {\frac {\delta }{n}}.{\frac {\alpha g+\beta h-k}{m}}-g,\quad {\frac {\gamma }{n}},\quad {\frac {\delta }{n}}.$

la substitution $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$. Soit $\varphi$ une des formes $\Omega$, et $m$, $k$, $0$, $n$, la substitution qui change $f$ en $\varphi$. Soit enfin $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, $\delta '$ la substitution propre qui change $\varphi$ en une forme équivalente ; la forme $f$ se changera en cette dernière par la substitution : $m\alpha '+k\gamma '$, $m\beta '+k\delta '$. Si donc l’on peut déterminer les nombres $m,$ $k,$ $n,$ $\alpha ',$ $\beta ',$ $\gamma ',$ $\delta ',$ de manière qu’on ait

$m\alpha '+k\gamma '=\alpha ,\quad m\beta '+k\delta =\beta ,\quad n\gamma '=\gamma ,\quad n\delta '=\delta ,$


il est clair que $\varphi$ sera équivalente à $F$.

Or les équations $n\gamma '=\gamma$, $n\delta '=\delta$ donnent $\gamma '={\frac {\gamma }{n}}$, $\delta '={\frac {\delta }{n}}$ : et comme $\gamma '$, $\delta '$ doivent être premiers entre eux, $n$ sera le plus grand commun diviseur des nombres $\gamma$, $\delta$. Des deux autres équations, on tire en éliminant $m$ ou $k$,

$k=\alpha '\beta -\alpha \beta ',\quad m=\alpha \delta '-\beta \gamma '\ ;$


et comme la seconde de ces équations revient évidemment à $\alpha \delta -\beta \gamma =e=mn$, il ne reste plus qu’à satisfaire à la première et à l’équation $\alpha '\delta '-\beta '\gamma '=1$. Si l’on suppose que $\alpha '=h$ et $\beta '=g$ soit une solution quelconque de cette dernière, on aura en général $\alpha '=h+p\gamma '$, $\beta '=g$ ; substituant ces valeurs dans celle de $k$, elle devient

$k=h\beta -g\alpha +p(\beta \gamma '-\alpha \delta )=h\beta -g\alpha -pm$,


ou

$k\equiv h\beta -g\alpha {\pmod {m}}$.


Ainsi en prenant pour $k$ le résidu minimum positif de $h\beta -g\alpha$, suivant le module $m$, la forme $\varphi$ ou $(m;k)$ se trouvera parmi les formes $\Omega$. On a pour lors

$\alpha '=\gamma '.{\frac {h\beta -g\alpha -k}{m}}+h$, $\beta '=\delta '.{\frac {h\beta -g\alpha -k}{m}}+g$,


ce qui est, au signe de $g$ près, le résultat de l’auteur.

Il est aisé de voir que la forme $\varphi$ restera la même de quelque manière que $p$ et $q$ soient déterminés ; elle serait encore la même, quand on aurait d’autres valeurs de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ pourvu que le diviseur commun de [mot oublié ?], $\delta \gamma$ n’eût pas changé, non plus que le résidu minimum positif de $h\beta -g\alpha$ : mais dans tout autre cas la forme $\varphi$ changera. Il suit de là qu’il peut y avoir plusieurs formes $\varphi$, $\varphi '$, $\varphi ''$, etc. Les propositions que l’auteur démontre dans le n^o suivant, sont évidentes d’après ces observations. (Note du traducteur).

Car