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RECHERCHES
le plus grand commun diviseur des nombres
,
, qui ne peuvent
être nuls tous les deux, et
. Soient les nombres
,
tels
que
,
le résidu minimum positif du nombre
suivant le module
. Alors la forme
, qui est évidemment
une des formes
, sera proprement équivalente à la forme
, et
se changera même en elle par la substitution propre
![{\displaystyle {\frac {\gamma }{n}}.{\frac {\alpha g+\beta h-k}{m}}+h,\quad {\frac {\delta }{n}}.{\frac {\alpha g+\beta h-k}{m}}-g,\quad {\frac {\gamma }{n}},\quad {\frac {\delta }{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1431701c7293854d4bc598f3107285fac9eed3ae)
la substitution
,
,
,
. Soit
une des formes
, et
,
,
,
, la substitution qui change
en
. Soit enfin
,
,
,
la substitution propre
qui change
en une forme équivalente ; la forme
se changera en cette dernière
par la substitution :
,
. Si donc l’on peut déterminer les
nombres
de manière qu’on ait
![{\displaystyle m\alpha '+k\gamma '=\alpha ,\quad m\beta '+k\delta =\beta ,\quad n\gamma '=\gamma ,\quad n\delta '=\delta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63c68f09b1f85674126955b30aec68463b03ae6a)
il est clair que
sera équivalente à
.
Or les équations
,
donnent
,
: et comme
,
doivent être premiers entre eux,
sera le plus grand commun diviseur des
nombres
,
. Des deux autres équations, on tire en éliminant
ou
,
![{\displaystyle k=\alpha '\beta -\alpha \beta ',\quad m=\alpha \delta '-\beta \gamma '\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade85b6cbde1caa4d8a6321af21f45419a1fdf86)
et comme la seconde de ces équations revient évidemment à
,
il ne reste plus qu’à satisfaire à la première et à l’équation
. Si
l’on suppose que
et
soit une solution quelconque de cette dernière,
on aura en général
,
; substituant ces valeurs dans celle
de
, elle devient
![{\displaystyle k=h\beta -g\alpha +p(\beta \gamma '-\alpha \delta )=h\beta -g\alpha -pm}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87d8b48fec7d64f7adc24359fe76749d09a78cab)
,
ou
![{\displaystyle k\equiv h\beta -g\alpha {\pmod {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2e5caa0d41e7edb91291cfa2afa089d3aecc0b8)
.
Ainsi en prenant pour
le résidu minimum positif de
, suivant le module
, la forme
ou
se trouvera parmi les formes
. On a pour lors
![{\displaystyle \alpha '=\gamma '.{\frac {h\beta -g\alpha -k}{m}}+h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a37de8a4ac9cd34f510be6020a637f1754ab5246)
,
![{\displaystyle \beta '=\delta '.{\frac {h\beta -g\alpha -k}{m}}+g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54f6d74f6f8cd82ebe7ac8b5df637aefdabd820a)
,
ce qui est, au signe de
près, le résultat de l’auteur.
Il est aisé de voir que la forme
restera la même de quelque manière que
et
soient déterminés ; elle serait encore la même, quand on aurait d’autres valeurs
de
,
,
,
pourvu que le diviseur commun de [mot oublié ?],
n’eût pas changé, non
plus que le résidu minimum positif de
: mais dans tout autre cas la
forme
changera. Il suit de là qu’il peut y avoir plusieurs formes
,
,
, etc.
Les propositions que l’auteur démontre dans le no suivant, sont évidentes d’après
ces observations. (Note du traducteur).
Car