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ARITHMÉTIQUES.

change en $F$ par la substitution $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, on a $E=(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}D$, et que si l’on a $\alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1$, la forme $f$ non-seulement renferme la forme $F$, mais lui est équivalente, et que partant, si $f$ renferme $F$ sans lui être équivalente, le quotient ${\frac {E}{D}}$ sera entier $>1$. Ainsi le problème à résoudre est : Juger si une forme donnée $\mathrm {f}$ de déterminant $\mathrm {D}$ renferme la forme donnée de déterminant $\mathrm {De^{2}} ,$ où $e$ est supposé un nombre positif $>1$. Pour y parvenir, nous assignerons un nombre fini de formes contenues sous la forme $f$, et telles que $F$ soit équivalente à l’une d’elles, si elle est contenue dans $f$.

I. Soient $m$, $m'$, $m''$, etc. les diviseurs positifs du nombre $e$ (y compris $1$ et $e$) et $mn=m'n'=m''n''=...=e$. Désignons, pour abréger, par $(m;0)$ la forme en laquelle $f$ se change par la substitution propre $m$, $0$, $0$, $n$ ; par $(m;1)$ celle qui résulte de la substitution propre $m$, $1$, $0$, $n$, etc., et généralement par $(m;k)$ celle qui résulte de la substitution propre $m$, $k$, $0$, $n$. On entendra de même les expressions $(m';0)$, $(m';1)$, etc. $(m';k)$, etc. Toutes ces formes seront contenues proprement dans la forme $f$, et le déterminant de chacune d’elles sera $De^{2}$. Nous représenterons par $\Omega$ l’ensemble de toutes les formes $(m;0)$, $(m;1)$,… $(m;m-1)$ ; $(m';0)$, $(m';1)$… $(m';m'-1)$, etc., dont le nombre est $m+m'+m''+$ etc., et qui sont toutes différentes, comme on le verra aisément.

Si l’on a, par exemple, $f=(2,5,7)$ et $e=5$, $\Omega$ comprendra les six formes $(1;0)$ ; $(5;0)$ ; $(5;1)$, $(5;2)$, $(5;3)$, $(5;4)$, qui sont, calcul fait, $(2,25,175)$ ; $(50,25,7)$, $(50,35,19)$, $(50,45,35)$, $(50,65,79)$, $(50,55,55)$.

II. Or je dis que si la forme $F$ de déterminant $De^{2}$ est contenue dans $f$, elle sera nécessairement proprement équivalente à une des formes $\Omega$. Supposons en effet que $f$ se change en $F$ par la substitution propre $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ ; on aura $\alpha \delta -\beta \gamma =e$^[1]. Soit n

1. L’auteur a été probablement conduit à sa démonstration par l’analyse suivante qui peut la remplacer.

   Supposons la forme $F$ renfermée dans la forme $f$, et que $f$ se change en $F$ par