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RECHERCHES

On aurait pu tirer de la décomposition en deux facteurs, les problèmes précédées mais nous avons préféré employer une méthode analogue à celle que nous avions suivie pour les autres determinans.

Exemple. Cherchons les représentations du nombre par la forme . Cette forme se décompose en deux facteurs et  ; les diviseurs du nombre sont : , , , , , . Faisons , , on tire , , valeurs à rejeter comme fractionnaires. Les diviseurs , , , , donnent aussi des valeurs inutiles ; mais le diviseur donne , , et le diviseur donne , . Ainsi il n’y aura exactement que ces deux représentations.

Cette méthode ne peut s’employer si  ; mais dans ce cas, il est clair que toutes les valeurs de et doivent satisfaire à l’une des équations , . Or toutes les solutions de la première équation sont contenues dans la formule , , en désignant par un nombre quelconque, si , sont premiers entre eux, comme on le suppose. De même, nommant le plus grand diviseur commun des nombres , , toutes les solutions de la seconde équation seront données par la formule , . Ainsi ces deux formules contiendront toutes les représentations du nombre .

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Dans ce qui précède, tout ce qui appartient à la recherche des caractères de l’équivalence des formes, à leur transformation et à la représentation des nombres donnés par des formes données, a été expliqué de manière à ne rien laisser à désirer. Il ne nous reste plus qu’à prendre deux formes de déterminant différent, qui par conséquent ne peuvent être équivalentes, et à enseigner le moyen de juger si l’une est contenue dans l’autre, et dans ce cas, celui de trouver les transformations de l’une en l’autre.

213. Nous avons déjà fait voir (nos 157 et 158) que si une forme de déterminant renferme la forme de déterminant , et se