Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/225

Cette page a été validée par deux contributeurs.

203

ARITHMÉTIQUES.

$\delta A$	$=a\alpha ^{2}\delta +2b\alpha \gamma \delta +c\gamma \delta =\alpha ^{2}\delta ^{2}f+b(2\alpha \delta -\beta \gamma )\gamma -\beta \gamma ^{2}h$
	$=(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}f+2\gamma (\alpha \delta -\beta \gamma )h=f+2\gamma h$ ;

donc $\alpha ={\frac {\beta A-g}{2h}}$ et $\gamma ={\frac {\delta A-f}{2h}}$ .

On a de même, relativement à la forme $F'$ , $\alpha '={\frac {\beta '-g'}{2h}}$ et $\gamma ={\frac {\delta 'A-f'}{2h}}$

En substituant ces valeurs de $\alpha$ , $\gamma$ , $\alpha '$ , $\gamma '$ dans la formule précédente, elle se change en la substitution suivante :

{\frac {\beta f'-\delta 'g}{2h}},\quad {\frac {\beta 'g-\beta g'}{2h}},\quad {\frac {\delta f'-\delta 'f}{2h}},\quad {\frac {\beta 'f-\delta g'}{2h}},

d’où $A$ a disparu.

Si l’on propose deux formes $F$ , $F'$ improprement équivalentes, et qu’on demande une transformation impropre de l’une en l’autre, soit $G$ la forme opposée à $F$ , et $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ une transformation propre de $G$ en $F'$ , il est clair que $\alpha$ , $\beta$ , $-\gamma$ , $-\delta$ , sera une transformation impropre de $F$ en $F'$ .

Enfin on voit que si les formes sont proprement et improprement équivalentes, on pourra trouver de cette manière deux transformations, l’une propre et l’autre impropre.

209. Il ne nous reste plus parconséquent qu’à déduire d’une seule transformation toutes celles qui lui sont semblables, ce qui dépend de la solution de l’équation $t^{2}-h^{2}u^{2}=m^{2}$ . Mais cette équation ne peut se résoudre que de deux manières, savoir, en faisant $t=m$ , $u=0$ , ou $t=-m$ , $u=0$ . Supposons en effet une autre solution $t=T$ , $u=U$ où $U$ ne soit pas zéro ; comme $m^{2}$ divise $4h^{2}$ , on aura ${\frac {4T^{2}}{m^{2}}}={\frac {4h^{2}U^{2}}{m^{2}}}+4$ , et ${\frac {4T^{2}}{m^{2}}}$ , ainsi que ${\frac {4h^{2}U^{2}}{m^{2}}}$ sont des quarrés entiers ; mais on voit facilement que la différence de deux quarrés entiers ne peut être $4$ à moins que le plus petit ne soit $=0$ ; si donc la forme $F$ se change en $F'$ par la transformation $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ , on ne trouvera d’autre transformation semblable que $-\alpha$ , $-\beta$ , $-\gamma$ , $-\delta$ , et si elles ne sont équivalentes que d’une manière, il n’y aura que deux transformations ; il y en aura quatre si elles sont équivalentes des deux manières, savoir, deux propres et deux impropres.

2