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RECHERCHES
sentation
,
, d’où l’on tire la formule générale
,
. Pour la valeur
, on a de même
la représentation
,
, et la formule qui contient
toutes les transformations semblables est
,
.
On a donc quatre formules générales, dans lesquelles sont contenues toutes les représentations du nombre
par la forme
,
![{\displaystyle x=6t-123u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd5fd7823489c89a1cfae6f9343626c1885d646c) |
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![{\displaystyle y=-3t+159u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88a3506f28a604a6b70b68da7dbfba686d7744ab) |
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![{\displaystyle x=66t-597u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ee67b3393c34528d877ad5b4ce00e34e004ed96) |
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![{\displaystyle y=-69t+633u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c9d7e63656d1ad985649d9429486cba9cc3f3cf) |
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![{\displaystyle x=3t-114u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9994c85db0e0be71e359f462779f6536b24c3c2c) |
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![{\displaystyle y=\quad \;t+15u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec9ddb238061a455454570db2447a164042a3e42) |
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![{\displaystyle x=83t-746u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45dc3d7c64feabb831a2b78191e4d05584503f46) |
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![{\displaystyle y=-87t+789u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ff28320685c2a484bbe19b5deb56a1f34234e80) |
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Pour abréger, nous ne nous arrêterons pas davantage aux applications particulières des recherches précédentes, parceque chacun
pourra y parvenir de lui-même, en imitant ce qui a été fait
nos 176, 182, et nous passons aux formes de déterminant positif
quarré qui nous restent à examiner.
206. Problème. Étant donnée une forme
de déterminant quarré
dont
est la racine positive, trouver une forme
qui lui soit proprement équivalente, dans laquelle
tombe entre
et
inclusivement, et où l’on ait
I. Puisque
, on aura
. Soit fait ce
rapport
,
étant premier avec
, et déterminons
,
de manière que
, ce qui peut se faire. Par la substitution
,
,
,
, la forme
se changera en une autre
,
qui lui sera proprement équivalente. Or on aura
![{\displaystyle b'=a\alpha \beta +b(\alpha \delta +\beta \gamma )+c\gamma \delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01a29209ff75a6b993e84d7c6e598da75388d265)
![{\displaystyle =(h-b)\alpha \delta +b(\alpha \delta +\beta \gamma )-(h+b)\beta \gamma =h(\alpha \delta -\beta \gamma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e58d2b3fe6da3ea74749faa4c54d9ed7b43338b0)
![{\displaystyle =h(\alpha \delta -\beta \gamma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dd5516214faba1d91ae5800f21162d34ad62d03)
![{\displaystyle =h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a83597a2a0bdb8caca0c17ae6cdcc3c850e5fd8)
![{\displaystyle c'=\alpha \beta ^{2}+2b\beta \delta +c\delta ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e89728fd535c5ce39a95fae364f72e01d1e0a3)
![{\displaystyle =(h-b)\beta \delta +2b\beta \delta -(h+b)\beta \delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee30b5cb9068a2163ea896f61c247fb0cb52e00f)
![{\displaystyle =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d3ba2435c5e5d048b9e80c09e38b694febf6f7d)
Si donc
est situé entre
et
, la forme
satisfera
à toutes les conditions.
II. Mais si
tombe hors de ces deux limites, soit
le résidu
minimum positif de
, suivant le module
,
sera évidemment
entre
, et
; soit posé
, alors la forme
, se changera, par la substitution
,
,
,
,
en
qui sera proprement équivalente aux formes
,
(a,