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ARITHMÉTIQUES.

$t^{(2\lambda )}={\frac {1}{m}}\left(t^{(\lambda )}t^{(\lambda )}+Du^{(\lambda )}u^{(\lambda )}\right)={\frac {1}{m}}\left(m^{2}+2Du^{(\lambda )}u^{(\lambda )}\right),$

et partant ${\frac {t^{(2\lambda )}-t^{0}}{r}}={\frac {2Du^{(\lambda )}.u^{(\lambda )}}{mr}}$, qui est un nombre entier ; puisque $r$ divise $u^{(\lambda )}$ et que, $m^{2}$ divisant $4D$, à plus forte raison $m$ divisera $2D$. On trouvera de même $u^{(2\lambda )}={\frac {2}{m}}t^{(\lambda )}u^{(\lambda )}$, et comme $4t^{(\lambda )}t^{(\lambda )}=4Du^{(\lambda )}u^{(\lambda )}+4m^{2}$ et est parconséquent divisible par $m^{2}$, $2t^{(\lambda )}$ le sera par $m$, et partant $u^{(2\lambda )}$ par $r$, c’est-à-dire que $u^{(2\lambda )}\equiv u^{0}{\pmod {r}}$. On a encore $t^{(2\lambda +1)}=t'+{\frac {2Du^{(\lambda )}u^{(\lambda +1)}}{m}}$, et comme, par la même raison, ${\frac {2Du^{(\lambda )}}{mr}}$ est un nombre entier, on en déduit $t^{(2\lambda +1)}\equiv t'{\pmod {r}}$ : enfin on trouve $u^{(2\lambda +1)}=u'+{\frac {2t^{(\lambda +1)}u^{(\lambda )}}{m}}$, et comme $2t^{(\lambda +1)}$ est divisible par $m$ et $u^{(\lambda )}$ par $r$, il s’ensuit que $u^{(2\lambda +1)}\equiv u'{\pmod {r}}$.

Au reste, on reconnaîtra par la suite l’usage de ces deux dernières observations.

202. Le cas particulier où l’équation est $t^{2}-Du^{2}=1$ a déjà été traité par les géomètres du siècle dernier. Fermat avait proposé ce problème aux analystes anglais, et Wallis rapporte (Algèb. chap. 98, T. II de ses Œuvres, p. 418), une solution qu’il attribue à Brounker. De son côté, Ozanam prétend qu’elle est de Fermat ; enfin Euler, qui s’en est occupé, (Comm. Petrop. VI, p. 175 ; Comm. Nov. XI, p. 28^[1] ; Algèbre, T. II, p. 226, Opusc. Anal. I, p. 310), dit que Pellius l’a trouvée le premier, ce qui a fait donner par quelques-uns à ce problème, le nom de Pellien. Toutes

ces solutions, en n’en regardant que l’esprit, retombent dans celle

1. Dans ce Mémoire, l’algorithme que nous avons exposé n^o 32, est présenté avec les mêmes signes, ce que nous avons négligé de remarquer alors.

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