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RECHERCHES

III. En désignant par $t^{0}$, $u^{0}$ ; $t'$, $u'$ ; $t''$, $u''$, etc. toutes les valeurs positives de $t$, $u$ dans l’équation $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$, comme dans le n^o précédent, s’il arrive que certaines valeurs dans cette série soient congrues aux premières, suivant un module quelconque donné $r$ ; si, par exemple, on a $t^{(\mu )}\equiv t^{0}\equiv m$, $u^{(\mu )}\equiv u^{0}\equiv 0{\pmod {r}}$, et que les valeurs suivantes le soient aux secondes, $t^{(\mu +1)}\equiv t'$, $u^{(\mu +1)}\equiv u'$ ; on aura de même $t^{(\mu +2)}\equiv t''$, $u^{(\mu +2)}\equiv u''$, etc., ce qui se déduit facilement de la loi même des deux séries. En effet, puisque $t''={\frac {2T}{m}}t'-t''$, et que $t^{(\mu +2)}={\frac {2T}{m}}t^{(\mu +2)}-t^{(\mu )}$, on aura $t''\equiv t^{(\mu +2)}$, et ainsi des autres. Il suit de là qu’on a généralement $t^{(h+\mu )}\equiv t^{(\mu )}$, $u^{(h+\mu )}\equiv u^{(\mu )}{\pmod {r}}$, $h$ étant un nombre quelconque, et plus généralement si $\pi \equiv \nu {\pmod {\mu }}$, on aura $t^{(\pi )}\equiv t^{(\nu )}$ et $u^{(\pi )}\equiv u^{(\nu )}{\pmod {r}}$.

IV. Or on peut toujours satisfaire aux conditions de l’observation précédente, c’est-à-dire, on peut toujours trouver un indice $\mu$ pour lequel on ait $t^{(\mu )}\equiv t^{0}$, $t^{(\mu +1)}\equiv t'$, $u^{(\mu )}\equiv u^{0}$, $u^{(\mu +1)}\equiv u'$, suivant un module quelconque donné $r$. En effet,

1^o. On peut toujours satisfaire à la troisième condition, puisqu’il est aisé de s’assurer, par les caractères présentés dans la première observation, que l’équation est résoluble ; et si les plus petites valeurs de $p$, $q$, sont $p=P$, $q=Q$, on en déduira $t=P$, $u=rQ$ ; ainsi $P$ et $rQ$ seront contenus dans les suites $t^{0}$, $t'$, etc., $u^{0}$, $u'$, etc. ; et si $P=u^{(\lambda )}$, $rQ=u^{(\lambda )}$, on aura $u^{(\lambda )}\equiv 0\equiv u^{0}{\pmod {r}}$. En outre on voit facilement qu’entre $u^{0}$ et $u^{(\lambda )}$ aucun terme ne sera congru à $u^{0}$, suivant le module $r$.

2^o. Il est clair que si dans ce cas les trois autres conditions sont remplies, c’est-à-dire, si $u^{(\lambda +1)}\equiv u'$, $t^{(\lambda )}\equiv t^{0}$, $t^{(\lambda +1)}\equiv t'$, on pourra prendre $\mu =\lambda$ ; mais si l’une de ces conditions manque, on pourra prendre à coup sûr $\mu =2\lambda$. En effet, de l’équation (1) et des formules générales qui donnent $t^{(e)}$ et $u^{(e)}$ dans le n^o précédent, on déduit