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RECHERCHES
III. En désignant par , ; , ; , , etc. toutes les valeurs
positives de , dans l’équation , comme dans le
no précédent, s’il arrive que certaines valeurs dans cette série
soient congrues aux premières, suivant un module quelconque donné
; si, par exemple, on a , ,
et que les valeurs suivantes le soient aux secondes, ,
; on aura de même , , etc.,
ce qui se déduit facilement de la loi même des deux séries. En
effet, puisque , et que , on
aura , et ainsi des autres. Il suit de là qu’on a généralement , , étant un
nombre quelconque, et plus généralement si , on
aura et .
IV. Or on peut toujours satisfaire aux conditions de l’observation précédente, c’est-à-dire, on peut toujours trouver un indice pour lequel on ait , , , ,
suivant un module quelconque donné . En effet,
1o. On peut toujours satisfaire à la troisième condition, puisqu’il est aisé de s’assurer, par les caractères présentés dans la
première observation, que l’équation est résoluble ; et si les plus petites valeurs de , , sont , ,
on en déduira , ; ainsi et seront contenus dans
les suites , , etc., , , etc. ; et si , , on
aura . En outre on voit facilement qu’entre
et aucun terme ne sera congru à , suivant le module .
2o. Il est clair que si dans ce cas les trois autres conditions
sont remplies, c’est-à-dire, si , , ,
on pourra prendre ; mais si l’une de ces conditions manque,
on pourra prendre à coup sûr . En effet, de l’équation (1)
et des formules générales qui donnent et dans le no précédent, on déduit