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ARITHMÉTIQUES.

$U'>u^{(n)}$. Mais comme $U'$ est la plus petite valeur de $u$, après zéro, $\upsilon$ ne sera certainement pas $<U$.

3^o . Des valeurs de $t^{(n)}$, $t^{(n+1)}$, $u^{(n)}$, $u^{(n+1)}$, on tire aisément $mU=u^{(n+1)}t^{(n)}-t^{(n+1)}u^{(n)}$ ; donc $U't^{(n)}-T'u^{(n)}$ ne sera pas plus petit que $u^{n+1}t^{n}-t^{n+1}u^{n}$.

4^o . L’équation $T'^{2}-DU'^{2}=m^{2}$ donne ${\frac {T'}{U'}}={\sqrt {\left(D+{\frac {m^{2}}{U'^{2}}}\right)}}$, et l’on a de même ${\frac {t^{(n+1)}}{u^{(n+1)}}}={\sqrt {\left(D+{\frac {m^{2}}{u^{(n+1)}u^{(n+1)}}}\right)}}$ ; d’où l’on conclut facilement que ${\frac {T'}{U'}}>{\frac {t^{(n+1)}}{u^{(n+1)}}}$. De là et de la conclusion précédente, il suit que

$\left(U't^{(n)}-T'u^{(n)}\right)$	$\left(t^{(n)}+u^{(n)}{\frac {T'}{U'}}\right)$
$>$	$\left(u^{(n+1)}t^{(n)}-t^{(n+1)}u^{(n)}\right)\left(t^{(n)}+u^{(n)}{\frac {t^{(n+1)}}{u^{(n+1)}}}\right).$

En développant, et remplaçant $T'^{2}$, $t^{(n)}.t^{(n)}$, $t^{(n+1)}.t^{(n+1)}$ par leurs valeurs $DU'^{2}+m^{2}$, $Du^{(n)}.u^{(n)}+m^{2}$, $Du^{(n+1)}.u^{(n+1)}+m^{2}$, on a

${\frac {1}{U'}}\left(U'^{2}-u^{(n)}u^{(n)}\right)>{\frac {1}{u^{(n+1)}}}\left(u^{(n+1)}u^{(n+1)}-u^{(n)}u^{(n)}\right),$

ou transposant, ce qui est permis puisque les quantités sont positives,

$U'+{\frac {u^{(n)}u^{(n)}}{u^{(n+1)}}}>u^{(n+1)}+{\frac {u^{(n)}u^{(n)}}{U'}},$

résultat absurde, puisque $U'<u^{(n+1)}$, et que partant ${\frac {u^{(n)}u^{(n)}}{u^{(n+1)}}}<{\frac {u^{(n)}u^{(n)}}{U'}}$. Ainsi la supposition ne peut avoir lieu, et les séries $t^{0}$, $t'$, $t''$, etc. ; $u^{0}$, $u'$, $u''$, etc. ; renferment toutes les valeurs positives de $t$ et $u$.

Exemple. Pour $D=61$ et $m=2$, nous avons trouvé que les plus petites valeurs de $t$ et $u$ étaient $1523$, $195$ ; ainsi toutes les valeurs positives seront données par les formules

$t=$	$\left({\frac {1523}{2}}+{\frac {195}{2}}{\sqrt {61}}\right)^{e}+\left({\frac {1523}{2}}-{\frac {195}{2}}{\sqrt {61}}\right)^{e}$A.
$u={\frac {1}{\sqrt {61}}}$	$\left\{\left({\frac {1523}{2}}+{\frac {195}{2}}{\sqrt {61}}\right)^{e}-\left({\frac {1523}{2}}-{\frac {195}{2}}{\sqrt {61}}\right)^{e}\right\}$

et l’on trouve

$t^{0}$		$=$	$2$,
$t'$		$=$	$1523$,
$t''$	$=1523t'-t^{0}$	$=$	$2319527$,
$t'''$	$=1523t''-t'$	$=$	$3532618098$, etc.
——
$u^{0}$		$=$	$0$,
$u'$		$=$	$195$,
$u''$	$=1523u'-u^{0}$	$=$	$296985$,
$u'''$	$=1523u''-u'$	$=$	$452307960$, etc.