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ARITHMÉTIQUES.

ront le même signe, ainsi que $\delta ^{(n)}$ et ${\frac {b}{a}}\gamma ^{(n)}$, desorte que dans la première formule, on doit prendre pour $T$ une différence absolue et une somme dans la seconde, sans qu’il soit besoin de faire attention au signe.

Exemple. Pour $D=61$ et $m=2$, on peut employer la forme $(2,7,-6)$ ; on trouve $n=6$, $h'=-2$, $h''=2$, $h'''=-7$, $h{(IV)}=2$, $h{(I)}=-2$, $h{(VI)}=7$. De là $\delta ^{(VI)}=1444$ et $\gamma ^{(VI)}=\delta ^{(V)}=195$ (abstraction faite du signe) ; d’où $T=2(1444-{\frac {7}{2}}.195)=1523$ et $U=195$. On trouve la même chose par l’autre formule.

Au reste, il y a plusieurs autres artifices par lesquels on peut simplifier le calcul mais le désir d’abréger ne nous permet pas d’en parler avec plus d’étendue.

200. Pour tirer toutes les valeurs de $t$ et de $u$ de la connaissance des plus petites, nous mettrons l’équation $T^{2}-DU^{2}=m^{2}$ sous la forme $\left({\frac {T}{m}}+{\frac {U}{m}}{\sqrt {D}}\right).\left({\frac {T}{m}}-{\frac {U}{m}}{\sqrt {D}}\right)=1$ ; d’où l’on tire

$\left({\frac {T}{m}}+{\frac {U}{m}}{\sqrt {D}}\right)^{e}.\left({\frac {T}{m}}-{\frac {U}{m}}{\sqrt {D}}\right)^{e}=1$……(1),

$e$ étant un nombre quelconque. Faisons pour abréger,

${\frac {m}{2}}\left({\frac {T}{m}}+{\frac {U}{m}}{\sqrt {D}}\right)^{e}+$	${\frac {m}{2}}\left({\frac {T}{m}}-{\frac {U}{m}}{\sqrt {D}}\right)^{e}$	$=t^{(e)}$	……
${\frac {m}{2{\sqrt {D}}}}\left({\frac {T}{m}}+{\frac {U}{m}}{\sqrt {D}}\right)^{e}-$	${\frac {m}{2{\sqrt {D}}}}\left({\frac {T}{m}}-{\frac {U}{m}}{\sqrt {D}}\right)^{e}$	$=u^{(e)},$

ensorte que ces expressions soient représentées par $t^{0}$ et $u^{0}$ quand $e=0$ (elles sont alors $m$, $0$) ; par$t'$, $u'$ quand $e=1$ (elles sont alors $T$ et $U$) ; par $t''$ et $u''$ quand $e=2$ ; par $t'''$ et $u'''$ quand $e=3$, etc. Nous allons démontrer qu’en prenant pour $e$ tous les nombres entiers positifs depuis $0$ jusqu’à ${\frac {1}{0}}$ : 1^o . toutes les valeurs de ces expressions satisferont à l’équation proposée ; 2^o . toutes ces valeurs sont entières ; 3^o. il n’y a pas de valeurs de $t$ et $u$ qui ne soient contenues dans ces formules.

I. En substituant pour $t^{(e)}$ et $u^{(e)}$ leurs valeurs, on prouve sans peine qu'on a $(t^{(e)}+u^{(e)}{\sqrt {D}})(t^{(e)}-u^{(e)}{\sqrt {D}})=m^{2}$, c’est-à-dire,
$t^{(e)}.t^{(e)}-Du^{(e)}.u^{(e)}=m^{2}.$

II. On démontre facilement de la même manière qu’on a gé-