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ARITHMÉTIQUES.


déterminant soit , et telle que soit le plus grand diviseur commun des nombres , , , ce qui ne peut manquer d’arriver, puisque l’on peut trouver une forme réduite équivalente à la forme , et qu’alors (no 161) elle jouira de cette propriété. Mais pour la proposition actuelle, on pourra employer une forme réduite quelconque, pourvu qu’elle satisfasse à cette condition. On formera la période de , où nous supposerons qu’il y ait formes ; en reprenant tous les signes dont nous nous sommes servis au no 188, on aura , parceque est pair, et deviendra par la substitution propre , , ,  ; mais comme et sont identiques, deviendra aussi par la substitution propre , , , . De ces deux transformations semblables de en , on peut déduire, au moyen du no 162, une solution en nombres entiers de l’équation  ; savoir, (équation (18), no 162), (équation (19))[1]. Désignons par et ces valeurs prises positivement, si elles ne se présentent pas telles, et , seront les plus petites valeurs de , (excepté et , auxquelles elles ne pourront jamais revenir, parcequ’on ne peut pas avoir .

Supposons en effet qu’il existe des valeurs et plus petites que et et parmi lesquelles on n’ait pas . Alors, par le no 162, la forme se transforme en elle-même par la substitution propre


Or (no 193, II) doit être égal à l’un des nombres

, par exemple.


En effet, comme on aura et partant positif ; donc la fraction qui répond à la frac-

  1. Les quantités qui étaient, au no 162, , , ,  ; , , ,  ; , ,  ; , ,  ;  ; sont ici , , ,  ; , , ,  ; , ,  ; , ,  ; .