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ARITHMÉTIQUES.

déterminant soit $D$, et telle que $m$ soit le plus grand diviseur commun des nombres $a$, $2b$, $a'$, ce qui ne peut manquer d’arriver, puisque l’on peut trouver une forme réduite équivalente à la forme $(M,N,P)$, et qu’alors (n^o 161) elle jouira de cette propriété. Mais pour la proposition actuelle, on pourra employer une forme réduite quelconque, pourvu qu’elle satisfasse à cette condition. On formera la période de $f$, où nous supposerons qu’il y ait $n$ formes ; en reprenant tous les signes dont nous nous sommes servis au n^o 188, on aura $f^{(n)}=(a^{(n)},b^{(n)},-a^{(n+1)})$, parceque $n$ est pair, et $f$ deviendra $f^{(n)}$ par la substitution propre $\alpha ^{(n)}$, $\beta ^{(n)}$, $\gamma ^{(n)}$, $\delta ^{(n)}$ ; mais comme $f$ et $f^{(n)}$ sont identiques, $f$ deviendra aussi $f^{(n)}$ par la substitution propre $1$, $0$, $0$, $1$. De ces deux transformations semblables de $f$ en $f^{(n)}$, on peut déduire, au moyen du n^o 162, une solution en nombres entiers de l’équation $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$ ; savoir, $t={\frac {1}{2}}(\alpha ^{(n)}+\delta ^{(n)})m$ (équation (18), n^o 162), $u={\frac {\gamma ^{(n)}m}{a}}$ (équation (19))^[1]. Désignons par $T$ et $U$ ces valeurs prises positivement, si elles ne se présentent pas telles, et $T$, $U$ seront les plus petites valeurs de $t$, $u$ (excepté $l=m$ et $u=0$, auxquelles elles ne pourront jamais revenir, parcequ’on ne peut pas avoir $\gamma ^{(n)}=0$.

Supposons en effet qu’il existe des valeurs $\tau$ et $\nu$ plus petites que $T$ et $U$ et parmi lesquelles on n’ait pas $U=0$. Alors, par le n^o 162, la forme $f$ se transforme en elle-même par la substitution propre

${\frac {1}{m}}(\tau -b\nu ),\quad {\frac {1}{m}}a'\nu ,\quad {\frac {1}{m}}a\nu ,\quad {\frac {1}{m}}(\tau +b\nu ).$

Or (n^o 193, II) $\pm {\frac {1}{m}}(\tau -b\nu )$ doit être égal à l’un des nombres

$\alpha '',\;\alpha ''',\;\alpha ^{(IV)}\;{\text{etc.}},\quad =\alpha ^{(\mu )}$, par exemple.

En effet, comme $\tau ^{2}=D\nu ^{2}+m^{2}=b^{2}\nu ^{2}+aa'\nu ^{2}+m^{2},$ on aura $\tau ^{2}=b^{2}\nu ^{2},$ et partant $\tau -b\nu$ positif ; donc la fraction ${\frac {\tau -b\nu }{a\nu }}$ qui répond à la frac-

1. Les quantités qui étaient, au n^o 162, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ ; $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, $\delta '$ ; $A$, $B$, $C$ ; $A'$, $B'$, $C'$ ; $e$ ; sont ici $1$, $0$, $0$, $1$ ; $\alpha ^{(n)}$, $\beta ^{(n)}$, $\gamma ^{(n)}$, $\delta ^{(n)}$ ; $a$, $b$, $-a'$ ; $a$, $b$, $-a'$ ; $1$.