que se change improprement en par la substitution .
Il suit de là que si et sont équivalentes proprement et improprement, on peut trouver deux transformations, l’une propre et l’autre impropre.
Exemple. Soit la forme à transformer en la forme que nous avons trouvé lui être improprement équivalente (no précéd.) ; il faudra commencer par trouver la transformation propre de la forme en la forme . Pour y parvenir, on établira la suite de formes
de là on déduit la transformation propre , qui
change en ; donc la transformation
impropre la changera en .
197. Si l’on connaît une transformation d’une forme en une autre qui lui est équivalente, on pourra déduire de celle-là toutes les transformations semblables, pourvu qu’on connaisse toutes les solutions de l’équation indéterminée , dans laquelle est le déterminant des formes et , et le plus grand diviseur commun des nombres (no 162). Nous allons attaquer, en supposant positif, ce problème que nous avons déjà résolu pour le cas de négatif. Mais comme il est évident que toute valeur qui satisfera à l’équation, y satisfera aussi avec un signe contraire, il suffira d’assigner les valeurs positives de et de , et chaque solution en nombres positifs fournira quatre solutions effectives. Pour y parvenir, nous chercherons d’abord les plus petites valeurs de et (excepté , qui se présentent d’elles-mêmes) ; et celles-ci une fois connues, nous indiquerons le moyen d’en déduire les autres.
198. Problème. Trouver les plus petits nombres qui satisfont à l’équation indéterminée pourvu qu’il existe une forme dont le déterminant soit et que soit le plus grand diviseur commun des nombres
On prendra à volonté une forme réduite dont le
