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RECHERCHES

celle qui la suit immédiatement, c’est-à-dire, que si ${\frac {k}{p}}={\frac {\alpha ^{m}}{\gamma ^{m}}}$, en aura ${\frac {l}{q}}={\frac {\alpha ^{m+1}}{\gamma ^{m+1}}}$. Nous avons fait voir dans le n^o précédent que les quantités ${\frac {\alpha '}{\gamma '}}$, ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}}$, ${\frac {\alpha '''}{\gamma '''}}$, etc. (que nous désignerons par $\varphi '$, $\varphi ''$, $\varphi '''$, etc.) et $L$ sont placées dans l’ordre suivant:

$\varphi ',\ \varphi ''',\ \varphi ^{V},\ ......L......\varphi ^{VI},\ \varphi ^{IV},\ \varphi ''$, ……(I).

La première de ces quantités est $=0$ (puisque $\alpha '=0$) ; toutes les autres ont le même signe que $L$ ou $a$ ; mais comme par hypothèse ${\frac {k}{p}}$ et ${\frac {l}{q}}$ ont le même signe, ils tomberont, par rapport à $\varphi '$, du même côté que $L$, et comme d’ailleurs $L$ tombe entre ces deux mêmes quantités, elles seront l’une à droite, l’autre à gauche de $L$. Mais on peut faire voir aisément que ${\frac {k}{p}}$ ne peut tomber après $\varphi ''$, autrement ${\frac {l}{q}}$ tomberait entre $\varphi '$ et $L$ ; d’où il suivrait, 1^o . que $\varphi ''$ tomberait entre ${\frac {k}{p}}$ et ${\frac {l}{q}}$, et que partant le dénominateur de la fraction $\varphi ''$ serait plus grand que $q$ (n^o 190) ; 2^o . que ${\frac {l}{q}}$ tombe entre $\varphi '$ et $\varphi ''$, et que partant $q$ est plus grand que le dénominateur de $\varphi ''$, ce qui implique contradiction.

Supposons que ${\frac {k}{p}}$ ne soit égal à aucune des fractions $\varphi ''$, $\varphi '''$, $\varphi ^{IV}$, etc., et voyons ce qu’il en résulterait. Alors il est évident que si ${\frac {k}{p}}$ est situé à gauche de $L$, il tombera entre $\varphi '$ et $\varphi ''$, ou entre $\varphi '''$ et $\varphi ^{(V)}$, ou entre $\varphi ^{(V)}$ et $\varphi ^{(VII)}$, etc., puisque $L$ est irrationnel et parconséquent différent de ${\frac {k}{p}}$, et que les fractions $\varphi '$, $\varphi '''$, etc. peuvent approcher de $L$ de plus près qu’aucune quantité donnée qui ne serait pas $L$ lui-même. De même, si ${\frac {k}{p}}$ est à droite de $L$, il tombera entre deux fractions consécutives de la suite …$\varphi ^{(VI)}$, $\varphi ^{(IV)}$, $\varphi ''$. Supposons donc que ${\frac {k}{p}}$ tombe entre $\varphi ^{(m)}$ et $\varphi ^{(m+2)}$, les fractions ${\frac {k}{p}}$, $\varphi ^{(m)}$, $\varphi ^{(m+1)}$, $\varphi ^{(m+2)}$ se trouveront dans l’ordre suivant :