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RECHERCHES
celle qui la suit immédiatement, c’est-à-dire, que si ,
en aura . Nous avons fait voir dans le no précédent que
les quantités , , , etc. (que nous désignerons par , ,
, etc.) et sont placées dans l’ordre suivant:
, ……(I).
La première de ces quantités est (puisque ) ; toutes les
autres ont le même signe que ou ; mais comme par hypothèse et ont le même signe, ils tomberont, par rapport à ,
du même côté que , et comme d’ailleurs tombe entre ces
deux mêmes quantités, elles seront l’une à droite, l’autre à gauche
de . Mais on peut faire voir aisément que ne peut tomber
après , autrement tomberait entre et ; d’où il suivrait, 1o. que tomberait entre et , et que partant le dénominateur de la fraction serait plus grand que (no 190) ; 2o. que
tombe entre et , et que partant est plus grand que le
dénominateur de , ce qui implique contradiction.
Supposons que ne soit égal à aucune des fractions , ,
, etc., et voyons ce qu’il en résulterait. Alors il est évident
que si est situé à gauche de , il tombera entre et , ou
entre et , ou entre et , etc., puisque est irrationnel
et parconséquent différent de , et que les fractions , , etc.
peuvent approcher de de plus près qu’aucune quantité donnée
qui ne serait pas lui-même. De même, si est à droite de ,
il tombera entre deux fractions consécutives de la suite …,
, . Supposons donc que tombe entre et , les fractions , , , se trouveront dans l’ordre suivant :