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ARITHMÉTIQUES.

$>\mu nn'-\nu m'n$ ; ce qui donne $\nu >n'(\mu n-\nu m)$ et $>n(\mu n'-\nu m)$, et comme $\mu n-\nu m$, ni $\mu n'-\nu m'$ ne peuvent être égaux à zéro, car il en résulterait ${\frac {m}{n}}={\frac {\mu }{\nu }}$, ou ${\frac {m'}{n'}}={\frac {\mu }{\nu }}$, ce qui est contre l’hypothèse, et qu’ils ne peuvent être plus petits que $1$, il s’ensuit qu’on a $\nu >n'$ et $>n$.

Il est donc clair que l’on ne peut avoir $\nu =1$ ; c’est-à-dire que si $mn'-m'n=\pm 1$, aucun nombre entier ne peut être compris entre les fractions ${\frac {m}{n}}$ et ${\frac {m'}{n'}}$, et qu’à plus forte raison zéro ne peut y être compris, ce qui prouve que ces fractions ne peuvent être de signes contraires.

191. Théorème. Si la forme réduite $\mathrm {(a,b,-a')} ,$ dont le déterminant est $\mathrm {D} ,$ se change en la forme réduite $\mathrm {(A,B,-A')} ,$ de même déterminant, par la transformation $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ : 1^o. $\mathrm {\frac {\pm {\sqrt {D}}-b}{a}}$ tombera entre ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$, (pourvu que l’on n’ait ni $\gamma =0$, ni $\delta =0$, c’est-à-dire que les deux limites soient finies), en prenant le signe supérieur, quand les deux limites sont de même signe que $\mathrm {a} ,$ et le signe inférieur, quand elles sont toutes deux de signe contraire à celui de $\mathrm {a}$^[1] ; 2^o. $\mathrm {\frac {\pm {\sqrt {D}}+b}{a'}}$ tombera entre ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }},$ (pourvu qu’on n’ait ni $\alpha =0$, ni $\beta =0$), en prenant les signes comme ci-dessus.

On a les équations

$a\alpha ^{2}+2b\alpha \gamma -a'\gamma ^{2}$	$=$	$-$$A$$'$	…(1)
$a\beta ^{2}+2b\beta \delta -a'\delta ^{2}$	$=$	$-A'$	…(2)

d’où l’on tire

${\frac {\alpha }{\gamma }}={\frac {\pm {\sqrt {\left(D+{\frac {\alpha A}{\gamma ^{2}}}\right)}}-b}{a}}\dots \dots \,\;(3)$		${\frac {\beta }{\delta }}={\frac {\pm {\sqrt {\left(D-{\frac {\alpha A}{\delta ^{2}}}\right)}}-b}{a}}\dots \dots \,\;(4)$
${\frac {\gamma }{\alpha }}={\frac {\pm {\sqrt {\left(D-{\frac {\alpha 'A'}{\alpha ^{2}}}\right)}}+b}{a'}}\dots \dots (5)$		${\frac {\delta }{\beta }}={\frac {\pm {\sqrt {\left(D+{\frac {\alpha 'A'}{\beta ^{2}}}\right)}}+b}{a'}}\dots \dots (6)$

1. Il n’y a pas d’autre supposition à faire, puisqu’on a $\alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1$, et que d’après cela, par le n^o précéd., les limites ne peuvent être nulles toutes deux en même temps, ni de signe contraire.