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RECHERCHES

toutes les manières possibles en deux facteurs qui soient compris entre ${\sqrt {D}}+b$ et ${\sqrt {D}}-b$ , abstraction faite du signe, et l’on fera l’un d’eux $=a$ et l’autre $=c$ . Il est évident que chaque décomposition en facteurs donnera deux formes, car l’un quelconque des deux facteurs peut être pris pour $a$ , et l’autre pour $c$ .

Exemple. Soit $D=79$ ; par la première méthode, on trouve pour $a$ vingt-deux valeurs : $\pm 1$ , $2$ , $3$ , $5$ , $6$ , $7$ , $9$ , $10$ , $13$ , $14$ , $15$ , d’où résultent les 19 formes suivantes :

$(1,8,-15)$ ,	$(2,7,-15)$ ,	$(3,7,-10)$ ,	$(3,8,-5)$ ,	$(5,7,-6)$ ,
$(5,8,-3)$ ,	$(6,5,-9)$ ,	$(6,7,-5)$ ,	$(7,3,-10)$ ,	$(7,4,-9)$ ,
$(9,4,-7)$ ,	$(9,5,-6)$ ,	$(10,3,-7)$ ,	$(10,7,-3)$ ,	$(13,1,-6)$ ,
$(14,3,-5)$ ,	$(15,2,-5)$ ,	$(15,7,-2)$ ,	$(15,8,-1)$ .

On en trouvera encore autant en changeant les signes des fermes extrêmes, par exemple : $(-1,8,15)$ , $(-2,7,+15)$ , etc., ensorte qu’on en aura trente-huit en tout. Mais comme $\pm a$ doit être compris entre les limites ${\sqrt {D}}+b$ et ${\sqrt {D}}-b$ , il faut rejeter les six formes : $(\pm 13,1,\mp 6)$ , $(\pm 14,3,\mp 5)$ , $(\pm 15,2,\mp 5)$ ; et les trente-deux qui restent, forment toutes les formes réduites.

Par la seconde méthode, on déduit les mêmes formes dans l’ordre suivant :

$(\pm 7,3,\mp 10)$ ,	$(\pm 10,3,\mp 7)$ ,	$(\pm 7,4,\mp 9)$ ,	$(\pm 9,4,\mp 7)$ ,
$(\pm 6,5,\mp 9)$ ,	$(\pm 9,5,\mp 6)$ ,	$(\pm 2,7,\mp 15)$ ,	$(\pm 3,7,\mp 10)$ ,
$(\pm 5,7,\mp 6)$ ,	$(\pm 10,7,\mp 5)$ ,	$(\pm 10,7,\mp 3)$ ,	$(\pm 15,7,\mp 2)$ ,
$(\pm 1,8,\mp 15)$ ,	$(\pm 3,8,\mp 5)$ ,	$(\pm 5,8,\mp 3)$ ,	$(15,8,\mp 1)$ .

186. Soit $F$ une forme réduite de déterminant D, et la forme réduite $F$ contiguë à $F$ par la dernière partie ; soit de même la réduite $F''$ contiguë à $F'$ , $F'''$ à $F''$ , etc., il est clair que toutes les formes $F'$ , $F''$ , $F'''$ , etc. sont absolument déterminées, et qu’elles sont proprement équivalentes entre elles et à la forme $F$ . Mais comme le nombre des formes réduites de déterminant donné est toujours fini, il est manifeste que toutes les formes $F$ , $F'$ , $F''$ , etc. ne peuvent pas être différentes. Supposons que $F^{(m)}$ et $F^{(m+n)}$ soient identiques, $F^{(n-1)}$ et $F^{(m+n-1)}$ sont réduites et contiguës par la première partie à la même forme réduite ; et partant identiques, on a de même $F^{(m-2)}=F^{(m+n-2)}$ , etc., et enfin $F=F^{(n)}$ . Ainsi