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RECHERCHES

3^o . Il suit de là que $(c,b,a)$ est aussi une forme réduite.

4^o . $a$ et $c$ seront $<2{\sqrt {D}}$ ; car chacun d’eux est $<{\sqrt {D}}+b$, et à plus forte raison $<2{\sqrt {D}}$.

5^o . $b$ est compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a$ (en prenant le signe supérieur lorsque $a$ est positif, et le signe inférieur quand il est négatif). En effet, comme $\pm a$ est compris entre ${\sqrt {D}}+b$ et ${\sqrt {D}}-b$, on aura $\pm a>{\sqrt {D}}-b$, ou $b>{\sqrt {D}}\mp a$ : d’ailleurs $b<{\sqrt {D}}$, donc $b$ est compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a$. On démontrerait absolument de la même manière que $b$ est compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp c$ (suivant que $c$ est positif ou négatif).

6^o . Pour toute forme réduite $(a,b,c)$, on peut en trouver une également réduite qui lui soit contiguë par l’une ou l’autre partie ; mais on n’en pourra trouver qu’une.

Soit $a'=c$, $b'=-b{\pmod {a'}}$, et compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a'$, $c'={\frac {b'^{2}-D}{a'}}$ ; la forme $(a',b',c')$ sera contiguë par la dernière partie, à la forme $(a,b,c)$ ; et il est clair que s’il existe une forme réduite contiguë à la forme $(a,b,c)$ par la dernière partie, elle ne peut être autre que $(a',b',c')$ ; il reste à faire voir que cette forme est effectivement réduite.

(A). Soit fait ${\sqrt {D}}+b\mp a'=p=$ ; $\pm a'-({\sqrt {D}}-b)=q$, ${\sqrt {D}}-b=r\ ;$ il suit de la définition des formes réduites, et de (2^o), que $p$, $q$, $r$ sont positifs ; et si l’on fait encore $b'-({\sqrt {D}}\mp a')=q'$, ${\sqrt {D}}-b'=r'$, $q'$ et $r'$ seront positifs, puisque $b'$ tombe entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a'$ ; soit enfin $b+b'=\pm ma'$, $m$ sera entier. Or il est clair que $p+q'=b+b'$, d’où il suit que $\pm ma'>0$, et partant $m>0$, et $m-1$ non $<0$ ; et comme on a encore $r+q'=\pm ma'=2b'\pm a'$, d’où l’on tire $2b'=r+q'\pm a'(m-1)$, il s’ensuit que $b'$ est nécessairement positif, et comme $b'={\sqrt {D}}-r'$, que $b'<{\sqrt {D}}$.

(B). Or on a $r\pm ma'={\sqrt {D}}+b$, d’où $r\pm (m-1)a'={\sqrt {D}}+b\mp a'\,;$ donc ${\sqrt {D}}+b>\pm a'\,;$ d’ailleurs $q'=\pm a'-({\sqrt {D}}-b'),$ donc $\pm a'>{\sqrt {D}}-b'\,;$ donc enfin $\pm a'$ est compris entre ${\sqrt {D}}+b$ et ${\sqrt {D}}-b.$

La forme $(a',b',c')$ est donc une forme réduite.

On démontrera de la même manière, que si l’on fait $'a=a,$