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RECHERCHES

une autre ; et nous observerons qu’aucun des termes extrêmes ne peut être nul, car, sans cela, le déterminant serait un quarré (n^o 171). Cela posé, soit $b'\equiv -b{\pmod {a'}}$ et compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a'$ (en prenant le signe supérieur quand $a'$ est positif, et le signe inférieur quand il est négatif) ; il est aisé de démontrer que l’opération est possible, par un raisonnement semblable à celui du n^o 5. Soit ensuite $a''={\frac {b'^{2}-D}{a'}}$, $a''$ sera un nombre entier, parceque $b'^{2}-D\equiv b^{2}-D\equiv aa'\equiv a{\pmod {a'}}$. Si $a''<a'$, on prendra encore $b''\equiv -b'{\pmod {a''}}$, et compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a''$ (suivant que $a''$ sera positif ou négatif), et $a'''={\frac {b''^{2}-D}{a''}}$ ; si l’on a $a'''<a''$ on prendra encore $b'''\equiv -b{\pmod {a''}}$ et compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a'''$, et $a^{IV}={\frac {b'''^{2}-D}{a'''}}$, etc. On continuera ainsi jusqu’à ce que l’on parvienne à un terme $a^{(m+1)}$ qui ne soit pas plus petit que le précédent $a^{(m)}$, ce qui doit arriver nécessairement, car autrement une progression de nombres entiers pourrait décroître à l’infini. Alors en faisant $a^{(m)}=A$, $b^{(m)}=B$, $a^{(m+1)}=C$, la forme $(A,B,C)$ satisfera à toutes les conditions. En effet :

1^o. Puisque dans la suite de formes $(a,b,a')$, $(a',b',a'')$, $(a'',b'',a''')$, etc. une quelconque est contiguë à celle qui la précède ; la dernière $(A,B,C)$ sera proprement équivalente à la première.

2^o. Comme $B$ est compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp A$, en prenant toujours le signe supérieur quand $A$ est positif, et le signe inférieur quand il est négatif, il est clair que si l’on fait ${\sqrt {D}}-B=p$ et $B-({\sqrt {D}}\mp A)=q$, $p$ et $q$ seront des nombres positifs, quel que puisse être le signe de ${\sqrt {D}}\mp A$. Or on s’assurera aisément que $q^{2}+2pq+2p{\sqrt {D}}=D+A^{2}-B^{2}$ ; or le premier membre est essentiellement positif, donc le second l’est aussi ; et comme $D=B^{2}-AC$, il s’ensuit que $A^{2}-AC>0$ ; mais $A$ n’est pas plus grand que $C$, donc nécessairement $A$ et $C$ sont de signe contraire ; donc aussi, puisque $B^{2}=D+AC$, on a $B^{2}<D$ et $B<{\sqrt {D}}$.

3^o. Puisque $D<B^{2}$ et que $-AC=D-B^{2}$, on a $AC<D$ (abstraction faite du signe) ; et comme $A$ est non $>C$, on a

aussi