159
ARITHMÉTIQUES.
premiers entre eux. Donc, comme
est résidu de tous les nombres
de la forme
(no 119), et qu’il n’y a que des nombres pairs
qui peuvent être représentés par la forme
, on
aura, comme plus haut, le théorème suivant :
Tout nombre premier de la forme
peut se décomposer en un quarré et le triple d’un quarré, et cela d’une seule manière,
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee716ec61382a6b795092c0edd859d12e64cbba8) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295b4bf1de7cd3500e740e0f4f0635db22d87b42) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 13}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d478c234d544278fb494e9610b7b3310567302b0) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 19}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d12e89044b8eb4a6034d16a39e9c9d0b5c2518ba) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 16}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/960615e346e1c003a911f45b1225113ea01b4ff7) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
,
|
![{\displaystyle 31}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3401a982f566c6555f8196ab4c4fea0e46012539) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295b4bf1de7cd3500e740e0f4f0635db22d87b42) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 37}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91e90c7510ed098d88f9e035a632975433544834) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 25}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8acf6937f13156a1301ebb614c5364d16597e42) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 43}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93c7b3694c74a05bcf03e265ed8531afecc44610) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 16}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/960615e346e1c003a911f45b1225113ea01b4ff7) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 61}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e82a258f1b668483f493f6d54bc1d5ae478bc27) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 49}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e854adb3d39762b45aea9e0b4df5188127c7a74) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
,
|
![{\displaystyle 67}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00887c5100c2333e4b2b56c086499550a57d069a) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 64}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482f6722cbd449a0df54e03c71143afc7cb1ea4b) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
![{\displaystyle 73}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af104862bafc7194cdeb00a33a8f210db45197b7) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 25}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8acf6937f13156a1301ebb614c5364d16597e42) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
, |
— |
etc.
|
Euler a donné le premier la démonstration de ce théorème
dans le mémoire déjà cité (Comm. nov. T. VIII.). Nous pourrions continuer de la même manière, et démontrer, par exemple,
que tout nombre premier de la forme
,
,
,
(ceux dont
est résidu) peuvent être représentés par
l’une ou l’autre des formes
et
; savoir,
les nombres de la forme
,
, par la première ; ceux
de la forme
,
, par seconde ; tandis que les
nombres doubles de ceux de la forme
,
seraient
représentés par la forme
, et que les nombres
doubles de ceux de la forme
,
, le seraient par
la forme
: mais chacun, déduis facilement cette proposition, et une infinité d’autres particulières, tant de ce qui précède
que de ce que nous allons exposer.
Nous passerons donc aux formes de déterminant positif, et comme
leur nature diffère quand le déterminant est quarré, et quand il
ne l’est pas, nous commencerons par exclure ici le premier cas, que
nous considérerons ensuite à part.
183. Problème. Étant donnée une forme quelconque
dont le déterminant soit un nombre
positif et non quarré, trouver une forme
qui lui soit proprement équivalente, et dans laquelle
soit positif et
, et dans laquelle
s’il est positif ou
si
est négatif, soit compris entre
et
Nous supposons que les deux conditions ne se trouvent pas réunies
dans la forme proposée, autrement il serait inutile d’en chercher