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ARITHMÉTIQUES.

2^o. Si ${\frac {4D}{m^{2}}}=4$, il y aura quatre représentations : $x=\pm \alpha$, $y=\pm \gamma$, $x=\pm {\frac {\alpha B+\gamma C}{m}}$, $y=\pm {\frac {\alpha A+\gamma B}{m}}$.

3^o. Si ${\frac {4D}{m^{2}}}=3$, il y aura six représentations :

$x=\pm \alpha$,	——	$y=\pm \gamma$ ;
$x=\pm {\frac {1}{2}}\alpha -{\frac {\alpha B+\gamma C}{m}}$,		$y=\pm {\frac {1}{2}}\gamma +{\frac {\alpha A+\gamma B}{m}}$ ;
$x=\pm {\frac {1}{2}}\alpha +{\frac {\alpha B+\gamma C}{m}}$,		$y=\pm {\frac {1}{2}}\gamma -{\frac {\alpha A+\gamma B}{m}}$.

On cherchera de la même manière les représentations que donnent les valeurs $-N,$ $+N',$ $-N'',$ etc.

181. La recherche des représentations du nombre $M$ par la forme $F$, dans laquelle $x$ et $y$ ont des valeurs quelconques, peut se ramener au premier cas. Supposons que cette représentation ait lieu en faisant $x=\mu e$, $y=\mu f$, ensorte que $\mu$ soit le plus grand diviseur commun des nombres $\mu e$, $\mu f$, ou que $e$ et $f$ soient premiers entre eux ; on aura $M=\mu ^{2}(Ae^{2}+2Bef+Cf^{2})$, et parconséquent $M$ est divisible par $\mu ^{2}$ ; et la substitution $x=e$, $y=f$ fournira une représentation du nombre ${\frac {M}{\mu ^{2}}}$ par la forme $F$, dans laquelle $x$ et $y$ ont des valeurs premières entre elles. Si donc $M$ n’est divisible par aucun quarré, il n’y aura pas de telles représentations ; mais s’il renferme des diviseurs quarrés, que nous appellerons $\mu ^{2}$, $\nu ^{2}$, $\pi ^{2}$, etc ; On cherchera d’abord toutes les représentations du nombre ${\frac {M}{\mu ^{2}}}$ par la forme $(A,B,C)$, dans lesquelles les valeurs de $x$, $y$ sont premières entre elles ; ces valeurs multipliées par $\mu$, donneront toutes les représentations de $M$, dans lesquelles $\mu$ est le plus grand commun diviseur de $x$ et de $y$ ; de la même manière on trouvera toutes les représentations dans lesquelles $\nu$ est le plus grand commun diviseur de $x$ et de $y$, etc.

On peut donc, par les méthodes que nous venons d’exposer, trouver toutes les représentations d’un nombre donné, par une forme donnée de déterminant négatif.

182. Descendons maintenant à quelques cas particuliers remarquables autant à cause de leur élégance, que par l’assiduité avec laquelle Euler s’en est occupé.

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