154
RECHERCHES
conséquent équivalente à la forme
ou à celle-ci
(no 176), d’où l’on voit facilement que la forme
équivaut à l’une des formes
,
,
qui sont toutes deux ambiguës. Donc, etc.
4o. Si
, on a
, et partant
. Mais comme aucun quarré ne peut être
(no 103), cette hypothèse est inadmissible.
5o. Si
, on a
, ce qui
est impossible ; donc cette hypothèse est encore inadmissible.
Comme d’ailleurs
ne peut être ni
, ni
, il n’y a
pas d’autres cas que ceux que nous venons de parcourir.
180. Problème. Trouver toutes les représentations d’un nombre donné
par la forme
…F, dont le déterminant est négatif, les valeurs de
et de
étant premières
entre elles.
On a vu (no 154) que l’on ne pouvait résoudre ce problème que
dans le cas où
est résidu quadratique de
on cherchera
donc d’abord toutes les valeurs différentes, c’est-à-dire, incongrues de l’expression
soient ces valeurs
,
etc. Pour rendre le calcul plus simple, on
peut prendre toutes ces valeurs telles qu’elles ne soient pas
Cela posé, comme une quelconque des représentations appartient à
quelqu’une de ces valeurs, nous considérerons chacune en particulier.
Si les formes
,
ne sont pas proprement équivalentes, il n’y aura aucune représentation de
qui appartienne
à la valeur
(no 168) ; mais si elles le sont, on n’a qu’à chercher une transformation propre de
en
, qui
soit
,
, et l’on aura
,
pour
la représentation du nombre
par la forme
, qui appartient
à la valeur
. Soit
le plus grand diviseur commun des nombres
,
,
, et nous pourrons distinguer trois cas :
1o. Si
, il n’y aura pas d’autres représentations que ces
deux-ci :
,
;
,
(nos 169, 180).