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ARITHMÉTIQUES.

mais si $F$ et $f$ sont équivalentes des deux manières ; c’est-à-dire si, outre la transformation donnée, il y en a encore une qui soit dissemblable, cette dernière en fournira encore quatre, desorte qu’il y aura huit transformations. Au reste il est aisé de démontrer que si $D=m^{2}$, $F$ et $f$ sont toujours équivalentes des deux manières. En effet, comme on a alors $m^{2}=AC-B^{2}$, $B$ lui-même sera divisible par $m$, et si l’on considère la forme $\left({\frac {A}{m}},{\frac {B}{m}},{\frac {C}{m}}\right)$, son déterminant sera $-1$, et partant elle sera équivalente à l’une des formes $(1,0,1)$, $(-1,0,-1)$. Or on voit facilement que la même transformation qui change $\left({\frac {A}{m}},{\frac {B}{m}},{\frac {C}{m}}\right)$ en $(\pm 1,0,\pm 1)$, changera la forme $(A,B,C)$ en $(\pm m,0,\pm m)$, qui est ambiguë ; donc la forme $(A,B,C)$ étant équivalente à une forme ambiguë, sera équivalente des deux manières, à la forme $(a,b,c)$ (n^os 163 et suiv.).

3^o. Si ${\frac {4D}{m^{2}}}=3$ ou $4D=3m^{2}$, $m$ sera nécessairement pair, et comme dans l’équation $t^{2}+Du^{2}=m^{2}$, il faut que $u^{2}<{\frac {4}{3}}$, on aura six solutions : $t=m$, $u=0$ ; $t=-m$, $u=0$ ; $t={\frac {1}{2}}m$, $u=1$ ; $t={\frac {1}{2}}m$, $u=-1$ ; $t=-{\frac {1}{2}}m$, $u=1$ ; $t=-{\frac {1}{2}}m$, $u=-1$. Si donc on connaît deux transformations dissemblables,

$x=\alpha x'+\zeta y'$,	———	$y=\gamma x'+\delta y'$ ;
$x=\alpha 'x'+\zeta 'y'$,	———	$y=\gamma 'x'+\delta 'y'$

on en déduira douze autres, savoir, six semblables à la première, et qui sont :

$x=$	$\pm \alpha x'\pm \beta y'$	$y=\pm \gamma x'\pm \delta y'$ ;
$x=$	$\left(\pm {\frac {1}{2}}\alpha -{\frac {\alpha B+\gamma C}{m}}\right)x'$	$+\left(\pm {\frac {1}{2}}\beta -{\frac {\beta B+\delta C}{m}}\right)y'$
$y=$	$\left(\pm {\frac {1}{2}}\gamma +{\frac {\alpha A+\gamma B}{m}}\right)x'$	$+\left(\pm {\frac {1}{2}}\delta +{\frac {\beta A+\delta B}{m}}\right)y'$,
$x=$	$\left(\pm {\frac {1}{2}}\alpha +{\frac {\alpha B+\gamma C}{m}}\right)x'$	$+\left(\pm {\frac {1}{2}}\beta +{\frac {\beta B+\delta C}{m}}\right)y'$
$y=$	$\left(\pm {\frac {1}{2}}\gamma -{\frac {\alpha A+\gamma B}{m}}\right)x'$	$+\left(\pm {\frac {1}{2}}\delta -{\frac {\beta A+\delta B}{m}}\right)y'$,

et six semblables à la seconde, qu’on obtiendra en mettant dans celles-ci $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\delta$ pour $\alpha ',$ $\beta ',$ $\gamma ',$ $\delta '$. Mais on peut faire voir que dans ce cas $F$ et $f$ sont équivalentes des deux manières ; car la forme $\left({\frac {2A}{m}},{\frac {2B}{m}},{\frac {2C}{m}}\right)$ aura $-{\frac {D}{4m^{2}}}=-3$ pour déterminant, et sera par-

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