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RECHERCHES
est facile de le ramener. Au reste, cette solution n’est pas restreinte au cas des formes de déterminant négatif ; elle convient à
tous les cas, pourvu qu’aucun des nombres , , , etc. ne soit
égal à zéro.
178. Problème. Étant données deux formes et de même déterminant négatif et proprement équivalentes, trouver une transformation propre de l’une en l’autre.
Supposons que soit la forme ; par la méthode
du no 171, on cherchera la suite des formes
etc. jusqu’à la réduite Soit
l’autre forme on cherchera de même la suite
etc. jusqu’à qui est la réduite. Alors
il peut se présenter deux cas :
1o. Si les formes , sont identiques, ou à-la-fois opposées et ambiguës, les formes
, seront contigues,
désignant l’avant-dernier terme de la suite , , , etc. (il
en est de même de , , ; car, ,
d’où mais si les formes réduites
sont identiques, ; si elles sont opposées et ambiguës,
; donc dans les deux cas . Il
suit de là que dans la suite de formes :
,
…
,
Une quelconque est contiguë à celle qui la précède, et parconséquent
(no précéd.) on pourra trouver une transformation propre de en .
2o. Si les formes , n’étant pas
identiques, sont opposées et que leurs termes extrêmes soient
égaux, on aura , d’où , et
, et partant divisible par ; donc la
forme est contiguë à la forme ,
et la suite :
,
…
,