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ARITHMÉTIQUES.

Soient les formes $(a,b,a')=F$, $(a',b',a'')=F'$, $(a'',b'',a''')=F''$, $a''',b''',c^{(IV)}=F'''$… etc. Faisons ${\frac {b+b'}{a'}}=h'$, ${\frac {b'+b''}{a''}}=h''$, ${\frac {b''+b'''}{a'''}}=h'''$, etc. nommons $x$, $y$,…$x'$, $y'$…$x''$,$y''$, etc. les indéterminées des formes $F$, $F'$, $F''$, etc. et supposons que $F$ se change

en	$F'$ par la substitution	$x=\alpha 'x'+\beta 'y'$,		$y=\gamma 'x'+\delta 'y'$
	$F''$…………………	$x=\alpha ''x''+\beta ''y''$,	…	$y=\gamma ''x''+\delta ''y''$
	$F'''$…………………	$x=\alpha '''x'''+\beta '''y'''$,	…	$y=\gamma '''x'''+\delta '''y'''$.

Cela posé, comme $F$ se change en $F'$ en faisant $x=-y'$ et $y=x'+h'y'$,$F'$ en $F''$ en faisant $x'=-y''$…$y'=x''+h'y''$, $F''$ en $F'''$ en faisant $x''=-y''$ et $y''=x''+h''y''$, etc. on trouvera facilement les équations suivantes :

$\alpha '$

$=$

$0$

$\beta '$

$=$

$-1$

$\gamma '$

$=$

$1$

$\delta '$

$=$

$h'$

$\alpha ''$

$=$

$\beta '$

…

$\beta ''$

$=$

$h''\beta '-\alpha '$

…

$\gamma ''$

$=$

$\delta '$

…

$\delta ''$

$=$

$h''\delta '-\gamma '$

$\alpha '''$

$=$

$\beta ''$

…

$\beta '''$

$=$

$h'''\beta ''-\alpha ''$

…

$\gamma '''$

$=$

$\delta ''$

…

$\delta '''$

$=$

$h'''\delta ''-\gamma ''$

$\alpha ^{IV}$

$=$

$\beta '''$

…

$\beta ^{IV}$

$=$

$h'''\beta '''-\alpha '''$

…

$\gamma ^{IV}$

$=$

$\delta '''$

…

$\delta ^{IV}$

$=$

$h^{IV}\delta '''-\gamma '''$

etc.

etc.

etc.

etc.

d’où l’on tire

$\alpha '$

$=$

$0$

$\beta '$

$=$

$-1$

$\gamma '$

$=$

$1$

$\delta '$

$=$

$h'$

$\alpha ''$

$=$

$\beta '$

…

$\beta ''$

$=$

$h''\beta '-\alpha '$

…

$\gamma ''$

$=$

$\delta '$

…

$\delta ''$

$=$

$h''\delta '-1$

$\alpha '''$

$=$

$\beta ''$

…

$\beta '''$

$=$

$h'''\beta ''-\alpha ''$

…

$\gamma '''$

$=$

$\delta ''$

…

$\delta '''$

$=$

$h'''\delta ''-\delta '$

$\alpha ^{IV}$

$=$

$\beta '''$

…

$\beta ^{IV}$

$=$

$h'''\beta '''-\alpha '''$

…

$\gamma ^{IV}$

$=$

$\delta '''$

…

$\delta ^{IV}$

$=$

$h^{IV}\delta '''-\delta ''$

etc.

etc.

etc.

etc.

il suit du n^o 159, et de la formation de ces quantités, que les différentes transformations sont propres.

Cet algorithme très-simple, et auquel on applique facilement le calcul, est analogue à celui du n^o 27^[1], auquel même il

1. On aurait, d’après la notation du n^o 27,
   $\beta ^{(n)}=\pm [-h'',h''',-h^{IV},\ldots \pm h^{(n)}]$,

   
   où les signes ambigus doivent être $-$, $-$ ; $-$, $+$ ; $+$, $-$ ; $+$, $+$, suivant que $n$ est de la forme $4K$, $4K+1$, $4K+2$, $4K+3$,

   $\delta ^{(n)}=\pm [h',-h'',-h''',\dots \pm h^{(n)}]$,

   
   où les signes, dans les mêmes cas, doivent être $+$, $-$ ; $+$, $+$ ; $-$, $-$ ; $-$, $+$.

   Mais le désir d’abréger nous empêche d’insister davantage sur ces formules, qu’au reste chacun pourra confirmer aisément.