Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/170

148

RECHERCHES

elles naissent des premières, en changeant les signes des termes extrêmes. La même chose a lieu pour les formes réduites à rejeter et à retenir.

176. Voici en conséquence une table qui contient, pour quelques déterminans négatifs, les formes suivant lesquelles toutes celles du même déterminant peuvent se distribuer en classes ; mais, suivant la remarque du n^o précédent, nous n’en avons mis que la moitié, c’est-à-dire celles dont les termes extrêmes sont positifs.

$1$…	$(1,0,\;\ 1).$
$2$…	$(1,0,\;\ 2).$
$3$…	$(1,0,\;\ 3),$	$(2,1,2).$
$4$…	$(1,0,\;\ 4),$	$(2,0,2).$
$5$…	$(1,0,\;\ 5),$	$(2,1,3).$
$6$…	$(1,0,\;\ 6),$	$(2,0,2).$
$7$…	$(1,0,\;\ 7),$	$(2,1,4).$
$8$…	$(1,0,\;\ 8),$	$(2,0,4),$	$(3,1,3).$
$9$…	$(1,0,\;\ 9),$	$(2,1,5),$	$(3,0,3).$
$10$…	$(1,0,10),$	$(2,0,5).$
$11$…	$(1,0,11),$	$(2,1,6),$	$(3,1,4),$	$(3,-1,4).$
$12$…	$(1,0,12),$	$(2,0,6),$	$(3,0,4),$	$(4,\;\;\ 2,4).$

Il serait superflu de continuer plus loin cette table, puisque nous donnerons plus bas une bien meilleure manière de la disposer.

Il résulte de cette table que toute forme dont le déterminant est -1, équivaut proprement à la forme $x^{2}+y^{2}$, si les termes extrêmes sont positifs, et à la forme $-x^{2}-y^{2}$, s’ils sont négatifs ; que toute forme dont le déterminant est $-2,$ et dont les termes extrêmes sont positifs, équivaut à la forme etc. ; que toute forme dont le déterminant est $-11$, et dont les termes extrêmes sont positifs, équivaut à l’une des quatre : $x^{2}+11y^{2}$, $2x^{2}+2xy+6y^{2}$, $3x^{2}+2xy+4y^{2}$, $3x^{2}-2xy+4y^{2}$, etc.

177. Problème. Étant donnée une suite de formes telle que chacune soit contiguë à celle qui la précède par la dernière partie, trouver une transformation propre de la première en une quelconque de la suite.