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ARITHMÉTIQUES.

$m$ étant le plus grand commun diviseur des nombres $a$ , $2b$ , $c$ , et $t$ , $u$ tous les nombres entiers qui satisfont indéfiniment à l’équation

t^{2}-Du^{2}=m^{2}

.

170. Si la forme $(a,b,c)$ est équivalente à une certaine forme ambiguë, elle sera équivalente, tant proprement qu’improprement, à la forme $\left(M,N,{\frac {N^{2}-D}{M}}\right)$ , ou encore elle sera proprement équivalente tant à la forme $\left(M,N,{\frac {N^{2}-D}{M}}\right)$ , qu’à la forme $\left(M,-N,{\frac {N^{2}-D}{M}}\right)$ (n^o 159) ; on aura donc les représentations du nombre $M$ par $F$ appartenantes soit à la valeur $+N$ soit à la valeur $-N$ . Et réciproquement, si on connaît plusieurs représentations du nombre $M$ par la même forme $F$ , et que ces représentations appartiennent à des valeurs opposées de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {M}}$ , la forme $F$ sera équivalente à la forme $G$ tant proprement qu’improprement, et l’on pourra assigner une forme ambiguë équivalente à $F$ .

Ces principes généraux sur la représentation des nombres nous suffisent pour ce que nous avons à dire à présent. Nous parlerons plus bas des représentations où les indéterminées ne doivent pas avoir de valeurs premières entre elles. Quant aux autres propriétés, les formes dont le déterminant est négatif, demandent à être traitées d’une manière tout-à-fait différente que celles dont le déterminant est positif. Aussi nous allons maintenant considérer séparément chacun de ces cas : nous commencerons par le premier comme étant le plus facile.

171. Problème. Étant proposée une forme quelconque $\mathrm {(a,b,a')}$ dont le déterminant est négatif, et $\mathrm {=-D}$ , trouver une forme $\mathrm {(A,B,C)}$ qui lui soit proprement équivalente, et dans laquelle $\mathrm {A}$ soit non $\mathrm {>2{\sqrt {\frac {D}{3}}}}$ , $\mathrm {B}$ non $\mathrm {>{\frac {1}{2}}A}$ , $\mathrm {C}$ non $\mathrm {<A}$ .

Nous supposons que ces trois conditions ne soient pas réunies dans la forme proposée, autrement il serait inutile de chercher la seconde forme. Soit $b'$ le résidu minimum absolu du nombre $-b$ suivant le module $a'$ ^[1] et $a''={\frac {b'^{2}+D}{a'}}$ , qui sera entier, puisque

↑ Il faut remarquer que si $a$ ou $a'$ étaient zéro, le déterminant serait un quarré positif, ce qui est contre l’hypothèse, par la même raison $a$ et $a'$ ne peuvent être de signe contraire.

[p141-1] Il faut remarquer que si $a$ ou $a'$ étaient zéro, le déterminant serait un quarré positif, ce qui est contre l’hypothèse, par la même raison $a$ et $a'$ ne peuvent être de signe contraire.

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