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ARITHMÉTIQUES.
Comme on doit avoir
, on satisfera évidemment à
cette équation en faisant
et
; d’ailleurs on trouve
,
,
,
; leur plus grand commun
diviseur
: ce qui donne pour la transformation qui change
en
,
et
. La forme ambiguë
est elle-même
.
Si les formes
et
sont équivalentes, la forme
sera aussi
renfermée dans
puisqu’elle l’est dans
; mais comme elle renferme cette même forme, elle lui sera équivalente, et partant
à la forme
; ainsi dans ce cas le théorème s’énoncera ainsi :
Si
et
sont équivalentes tant proprement qu’improprement, on pourra trouver une forme ambiguë équivalente à chacune d’elles. Au reste, dans ce cas
, et partant
qui
divise
doit être aussi
.
Ce que nous avons dit suffit pour la transformation des formes
en général ; passons à la représentation des nombres.
166. Si la forme
renferme la forme
tout nombre qui pourra être représenté par
pourra l’être aussi par
Soient
,
;
,
les indéterminées des formes
et
respectivement, et supposons que le nombre
puisse être représenté
par
en faisant
et
, et que la forme
se change
en
par la transformation
,
, il est
évident que
deviendra
en faisant
,
.
Si
peut être représenté de plusieurs manières par
, savoir,
en faisant encore
,
, il pourra l’être aussi de plusieurs
manières par
: en effet, si l’on avait à-la-fois
,
et
, il s’ensuivrait
et
, ce qui exige que
, et
partant, que le déterminant de la forme
soit
, contre
l’hypothèse, ou que
et
, il suit de là qu’il y a au
moins autant de manières de représenter
par
que par
.
Si donc
et
sont équivalentes, tout nombre qui pourra
être représenté par l’une pourra l’être par l’autre et d’autant de
manières.
S