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RECHERCHES

Mais par cette substitution, $F$ se change en $F'$ ; donc par la substitution (S) la forme $G$ se change en $F'$.

2^o . On déduit facilement des valeurs de $e$, $b$, $d$ l’équation $\alpha 'e+\gamma b-\alpha d=0$ ou comme $d=-a$, $\alpha 'e+\alpha a+\gamma b=0$ éliminant $b$ au moyen de l’équation (7), il vient

$(n\alpha -m\gamma )a=(m\gamma -n\alpha ')e$…… (12) ;

or on a $\alpha nb=-\alpha m(e+a)$, $\gamma mb=-m(\alpha 'e+\alpha a)$ ; donc

$(n\alpha -m\gamma )b=(\alpha '-\alpha ')me$…… (13) ;

enfin on trouvera $\gamma 'e-\gamma a+\alpha c=0$, éliminant $a$ au moyen de l’équation (8), il vient

$(n\alpha -m\gamma )c=(\gamma -\gamma ')ne$…… (14) ;

On trouve de même $\beta 'e+\delta b-\beta d=0$, ou $\beta 'e+\delta b+\beta a=0$ ; éliminant $b$ au moyen de l’équation (7), il vient

$(n\beta -m\delta )a=(m\delta -n\beta ')e$…… (15) ;

or on a $\beta nb=-\beta m(e+a)$, $\delta mb=-m(\beta 'e+\beta a)$ ; donc

$(n\beta -m\delta )b=(\beta '-\beta )me$…… (16) ;

enfin on trouve $\delta 'e-\delta a+\beta c=0$, et en éliminant $a$ au moyen de l’équation (8), on a

$(n\beta -m\delta )c=(\delta -\delta ')ne$…… (17).

Le plus grand commun diviseur des nombres $a$, $b$, $c$ étant $r$, si l’on détermine $A''$, $B''$, $C''$ de manière qu’on ait $A''a+B''b+C''c=r$, on trouvera au moyen des équations (12)…(17),

	$A''(m\gamma -n\alpha ')+B''(\alpha -\alpha ')m+C''(\gamma -\gamma ')n$
$=$	${\frac {r}{e}}(n\alpha -m\gamma )$
	$A''(m\delta -n\beta ')+B''(\beta -\beta ')m+C''(\delta -\delta ')n$
$=$	${\frac {r}{e}}(n\beta -m\delta )$

et partant, ${\frac {r}{e}}(n\alpha -m\gamma )$ et ${\frac {r}{e}}(n\beta -m\delta )$ sont entiers.

165. Exemple. La forme $3x^{2}+14xy-4y^{2}$ se change en la forme $-12x'^{2}-18x'y'+39y'^{2}$, proprement en faisant $x=4x'+ny'$, $y=-x'-2y'$, improprement en faisant $x=-74x'+89y'$, $y=15x'-18y'$. On a donc $\alpha +\alpha '=-70$, $\beta +\beta '=100$, $\gamma +\gamma '=14$, $\delta +\delta '=-20$ ; et $-{\frac {70}{24}}={\frac {100}{-20}}={\frac {5}{-1}}$. Faisons donc $m=5$, $n=-1$.

Comme