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RECHERCHES
qu’une forme
en renfermât une autre
, tant proprement qu’improprement. On voit que cela aura lieu, si l’on peut interposer
une autre forme
, telle que
renferme
, et que
renferme
,
et que la forme
soit de nature à être proprement équivalente à
elle-même. Car si l’on suppose que
renferme
proprement ou
improprement, comme
se renferme lui-même improprement,
renfermera
improprement ou proprement, selon la supposition primitive, et partant le renfermera dans les deux cas, proprement ou improprement (no 159). On trouvera de même que
de quelque manière que
renferme
,
doit toujours renfermer
des deux manières. Or on reconnaît qu’il existe des formes
improprement équivalentes à elles-mêmes par un cas très-évident,
celui de la forme
, qui se change en
en faisant
et
. Plus généralement, toute
forme
jouit de cette propriété lorsque
est divisible
par
; en effet la forme
est contiguë à
par
la première partie (no 160), et partant lui est proprement équivalente, mais
(no 159) équivaut improprement à
;
donc
équivaut improprement à elle-même. Nous nommerons formes ambiguës les formes
dans lesquelles
est divisible par
. Nous avons donc le théorème suivant :
La forme
renfermera la forme
proprement et improprement, si on peut trouver une forme ambiguë que
renferme et qui renferme
La réciproque est également vraie, et c’est l’objet du numéro suivant.
164. Théorème. Si la forme
renferme tant proprement qu’improprement la forme
on pourra trouver une forme ambiguë que
renfermera et qui renfermera
Supposons que
devienne
par la substitution
,
, et par la substitution dissemblable
,
. Soit
,
, on aura
; donc
, et comme
et
sont de signe contraire
ou
; or il est clair