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ARITHMÉTIQUES.
leur produit 
le serait aussi ; mais puisque 
est divisible par 
, ce produit est nécessairement pair ; donc
cette supposition ne peut subsister, et les deux quantités sont
paires, donc leurs moitiés 
, 
sont des entiers, et parconséquent 
et 
. Il suit de là, sans difficulté,
que les quatre coefficiens des formules (I) sont toujours entiers.
Concluons de ce qui précède, que si l’on connaît toutes les
solutions de l’équation 
, on en déduira toutes les
transformations de la forme 
en 
, semblables
à une transformation proposée. Nous donnerons plus loin le moyen
de trouver les solutions de cette équation ; observons seulement
ici que leur nombre est fini quand 
est négatif, ou positif et en
même temps un quarré ; mais qu’il est infini, si est positif et
non un quarré. Quand ce cas a lieu, et qu’on n’a pas 
(Voyez 3o.), il faudrait encore chercher comment on peut, a priori, distinguer les valeurs de 
et de 
qui donnent des transformations entières, et celles qui n’en donnent pas. Mais nous donnerons plus bas, pour ce cas-là, une autre méthode qui n’aura pas
le même inconvénient (no 214).
Exemple. La forme 
se change par la transformation
propre 
, 
en 
. On demande
toutes les transformations propres de 
en . Ici
, 
; ainsi l’équation à résoudre est 
. On
peut y satisfaire de six manières : 
, 
,
, 
, 
, 
.
La 3e et la 6e donnent des résultats fractionnaires et sont parconséquent à rejeter des autres. Résultent les quatre substitutions :
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______ |
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——— |
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dont la première est la solution proposée.
163. Nous avons dit plus haut, en passant, qu’il pouvait arriver
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