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RECHERCHES

$t$ et $u$ désignant indéfiniment tous les nombres qui satisfont à l’équation $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$. Nous ne pouvons pas encore conclure que toutes les valeurs de $t$ et de $u$ qui satisfont à cette équation donnent des transformations convenables, lorsqu’on les substitue dans les formules (I). Mais ,

1^o. On s’assurera par le développement, que la substitution de valeurs quelconques de $t$ et de $u$ change $F$ en $f$, au moyen des équations (1), (3), (5) et $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$. Nous omettons, ce calcul plus long que difficile.

2^o. Toute transformation déduite des formules sera semblable à la proposée ; car

		${\frac {1}{m}}\{\alpha t-(B\alpha +C\gamma )u\}\times {\frac {1}{m}}\{\delta t+(A\beta +B\delta )u\}$
	$-$	${\frac {1}{m}}\{\beta t-(B\beta +C\delta )u\}\times {\frac {1}{m}}\{\gamma t+(A\alpha +B\gamma )u\}$
$=$		${\frac {1}{m^{2}}}(\alpha \delta -\beta \gamma )(t^{2}-Du^{2})$
$=$		$\alpha \delta -\beta \gamma$.

3^o. Si les formes $F$ et $f$ ont des déterminans inégaux, il peut se faire que les formules (I) renferment des fractions, par la substitution de certaines valeurs de $t$ et de $u$, et que partant il faille les rejeter ; mais toutes les autres seront des transformations convenables, et seront les seules.

4^o. Si les formes $F$ et $f$ ont des déterminans égaux, et que parconséquent elles soient équivalentes, les formules (I) ne pourront jamais donner de transformations qui renferment des fractions, et parconséquent elles donnent la solution complète du problème.

En effet, par le théorème du n^o précédent, on sait que dans ce cas $m$ sera aussi diviseur commun de $A$, $2B$, $C$ ; or puisque $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$, on a $t^{2}-B^{2}u^{2}=m^{2}-ACu^{2}$ ; donc $t^{2}-B^{2}u^{2}$ sera divisible par $m^{2}$, et partant, $4t^{2}-4B^{2}u^{2}$, ou, puisque $2B$ est divisible par $m$, $4t^{2}$ sera divisible par $m^{2}$ ou $2t$ par $m$. Donc ${\frac {2}{m}}(t+Bu)$ et ${\frac {2}{m}}(t-Bu)$ seront entiers, et partant, comme la différence ${\frac {4Bu}{m}}$de ces deux quantités est paire, elles seront ou toutes deux impaires, ou toutes deux paires ; si elles étaient impaires,