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RECHERCHES

comment on peut en déduire l’autre transformation, ou comment $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, $\delta '$ dépendent de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $T$ et $U$.

Pour y parvenir, multiplions d’abord l’équation (1) par $\alpha '\delta -\beta \gamma '$, l’équation (2) par $\alpha \delta '-\beta '\gamma$, l’équation (3) par $\alpha \gamma '-\alpha '\gamma$, et l’équation (4) par $\alpha '\gamma -\alpha \gamma '$, et ajoutons les produits, il en résultera

$(e+e')a'=(\alpha \delta '+\alpha '\delta -\beta \gamma '-\beta '\gamma )a$…… (15).

De même si nous multiplions (1) $-$ (2) par $\beta '\delta -\beta \delta '$, (3) $+$ (4) par $(\alpha \delta '+\alpha '\delta -\beta \gamma '-\beta '\gamma )$ et (5) $-$ (6) par $(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )$, nous aurons en ajoutant,

$2(e+e')b'=2(\alpha \delta '+\alpha '\delta -\beta \gamma '-\beta '\gamma )b$…… (16).

Enfin si nous multiplions (3) $-$ (4) par $\delta \beta '-\beta \delta '$, (5) par $\alpha \delta '-\beta '\gamma$, et (6) par $\alpha '\delta -\beta \gamma '$, on aura en ajoutant les produits,

$(e+e')c'=2(\alpha \delta '+\alpha '\delta -\beta \gamma '-\beta '\gamma )c$…… (17).

Substituant ces valeurs de $a'$, $b'$, $c'$ dans l’équation (13), il vient

$(e+e')T=(\alpha \delta '+\alpha '\delta -\beta \gamma '-\beta '\gamma )(A'a+2B'b+C'c)$

ou $2eT=(\alpha \delta '+\alpha '\delta -\beta \gamma '-\beta '\gamma )m$…… (18) ;

d’où l’on peut tirer la valeur de $T$ plus facilement que de l’équation (13).

Combinant cette équation avec les équations (15), (16), (17), on en tire

$ma'=Ta,\quad 2mb'=2Tb,\quad mc'=Tc.$

Ces valeurs substituées dans les équations (7), etc. (12), en y mettant d’ailleurs $m^{2}+DU^{2}$ pour $T^{2}$, elles deviennent

$(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )^{2}m^{2}$	$=a^{2}U^{2}$
$(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )m^{2}$	$=2abU^{2}$
$(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )^{2}m^{2}$	$=4b^{2}U^{2}$
$(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )(\beta \delta '-\beta '\delta )2m^{2}$	$=acU^{2}$
$(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )(\beta \delta '-\beta '\delta )m^{2}$	$=2bcU^{2}$
$(\beta \delta '-\beta '\delta )^{2}m^{2}$	$=4c^{2}U^{2}$

De là, à l’aide de l’équation (14) et de celle-ci $A'a+2B'b+C'c=m$, on déduit facilement, en multipliant la 1^ère, la 2^e et la 4^e ; la 2^e, la 3^e et la 5^e ; la 4^e, 5^e et la 6^e par $A'$, $B'$, $C'$ respectivement, et

en