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RECHERCHES
Si donc les formes sont équivalentes, ces deux plus grands communs diviseurs sont égaux, puisqu’ils doivent se diviser mutuellement, et si dans ce cas l’un des deux groupes n’a pas de commun
diviseur, l’autre n’en aura pas non plus.
162. Problème. Si la forme renferme la forme et qu’on connaisse une quelconque des transformations, déduire de celle-là toutes les transformations qui lui sont semblables.
Soit la transformation donnée, , ;
Supposons d’abord qu’on en connaisse encore une autre semblable,
, , et examinons ce qui doit en résulter. Nommons , les determinans des formes , , faisons
, , on aura (no 157) , et
partant , puisque et sont de même signe par hypothèse.
Or on aura les six équations suivantes :
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………………
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(1)
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………………
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(2)
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………………
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(3)
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………………
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(4)
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………………
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(5)
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………………
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(6)
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Si l’on multiplie la première par la seconde, on en déduira
ou si l’on fait
…… (7)
Si l’on multiplie la première par la quatrième, et la seconde
par la troisième, et qu’on ajoute, on trouvera
{
ou en représentant
par ,
…… (8)
Si l’on multiplie la première par la sixième, la seconde par
la cinquième, la troisième par la quatrième, et qu’on ajoute
les deux premiers produits et le double du troisième, on trouve