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ARITHMÉTIQUES.
ou bien elle est renfermée proprement
dans l’une des deux. Les formes s’appelleront formes opposées.
160. Si les formes ont le même déterminant, et qu’on ait et , nous dirons
qu’elles sont contiguës, et quand une désignation plus exacte sera
nécessaire, nous dirons que la première est contiguë à la seconde
par la première partie, et que la seconde est contiguë à la première
par la dernière partie.
Ainsi la forme est contiguë à la forme par
la dernière partie, la forme est contiguë par les deux
parties à son opposée .
Les formes contiguës sont toujours proprement équivalentes.
Car la forme se change en la forme contiguë en faisant et
(où, par hypothèse, est un entier), comme on s’en assurera
par le développement. Or ; donc la transformation est propre. Au reste, ces définitions et ces conclusions n’auraient plus lieu si ; mais ce cas n’arrive que lorsque
le déterminant des formes est un quarré.
Il suit de là que les formes , sont proprement équivalentes, si et , car la première est proprement équivalente à (no précéd.) ; or
celle-ci est contiguë par la première partie à la forme .
161. Si la forme renferme la forme tout diviseur commun des nombres le sera aussi des nombres et tout diviseur commun de le sera aussi de
L’inspection des trois équations du no 157 suffit pour le démontrer, en ayant soin de multiplier la seconde par pour la
seconde partie de la proposition.
Il suit de là que le plus grand commun diviseur des nombres
, , , doit diviser celui des nombres , , , .