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ARITHMÉTIQUES.

représentation du nombre $M$ appartient à la même valeur de l’expression ${\sqrt {b^{2}-ac}}{\pmod {M}}$.

Mais si pour quelques valeurs de $\mu$, et $\nu$, $\mu '$ et $\nu '$, cette congruence n’a pas lieu, elle n’aura lieu pour aucune, et les représentations appartiendront à des valeurs différentes. Et, si l’on avait

$\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)\equiv -\{\mu '(m'b+n'c)-\nu '(m'a+n'b)\},$

nous dirions que les représentations appartiennent à des valeurs opposées. Nous nous servirons de toutes ces dénominations lorsqu’il s’agit de plusieurs représentations du même nombre par des formes différentes, mais qui ont le même déterminant.

Exemple. Soit $(3,7,-8)$ la forme proposée dont le déterminant $=73$. Elle donne pour le nombre $57$ les représentations suivantes : $3.13^{2}+14.13.25-8.25^{2}$ ; $3.5^{2}+14.5.9-8.9^{2}$. Pour la première on peut prendre $\mu =2$, $\nu =-1$, d’où résulte la valeur de ${\sqrt {73}}{\pmod {57}}$, à laquelle la représentation appartient $=2(13.7+25.8)+(13.3+25.7)=-4$. De la même manière, en faisant $\mu =2$, $\nu =-1$, on trouve que la seconde représentation appartient à la valeur $+4$. Donc les deux représentations appartiennent à des valeurs opposées.

Avant d’aller plus loin, nous observerons que les formes dont le déterminant est zéro doivent être exclues des considérations suivantes, parcequ’elles nuiraient à l’élégance des théorèmes, et qu’elles exigent qu’on les traite en particulier.

157. Si la forme $F$, dont les indéterminées sont $x$, $y$, peut être changée en une autre $F'$, dont les indéterminées soient $x'$, $y'$, en y substituant $x=\alpha x'+\beta y'$, $y=\gamma x'+\delta y'$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ étant des nombres entiers, nous dirons que la première renferme la seconde, ou que la seconde est contenue dans la première.

Soient $F=ax^{2}+2bxy+cy^{2}$, $F'=a'x'^{2}+2b'x'y'+c'y'^{2}$. On aura les trois équations suivantes :

$a'=$	$a\alpha ^{2}+2b\alpha \gamma +c\gamma ^{2}$,
$b'=$	$a\alpha \beta +b(\alpha \delta +\beta \gamma )+c\gamma \delta$
$c'=$	$a\beta ^{2}+2b\beta \delta +c\delta ^{2}$

Multipliant la seconde par elle-même, la première par la troisième, et retranchant, il vient

$b'^{2}-a'c'=(b^{2}-ac)(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}\ ;$

Q