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ARITHMÉTIQUES.

Demonstrationes circa divisores numerorum formœ $x^{2}+ny^{2}$ , et imprimé (T. I. nov. act. Ac. Petersb., p. 47), il paraît croire qu’il a atteint son but ; mais il s’y est glissé une erreur ; car il suppose tacitement l’existence de ces formes de diviseurs et de non-diviseurs (149) : et de cette supposition il n’était pas difficile de déduire qu’elles devaient être ces formes ; mais la méthode qu’il a employée pour démontrer cette supposition ne paraît pas convenable. Dans un autre écrit intitulé : De Criteriis æquationis $\mathrm {fx^{2}+gy^{2}=hz}$ utrumque resolutionem admittat necne (Opusc. anal. T. I), dans laquelle équation $f,g,h$ sont donnés et $x,y,z$ indéterminés ; il trouve que si l’équation est résoluble pour une valeur de $h=s$ , elle le sera pour tout nombre premier congru avec $s$ , suivant le module $4fg$ , proposition de laquelle on pouvait aisément déduire la supposition dont nous avons parlé. Mais la démonstration de ce théorème a toujours échappé aux recherches de ce grand géomètre^[1], ce qui n’est pas étonnant, puisqu’à notre avis il fallait partir du théorème fondamental. Au reste, la vérité de cette proposition résultera naturellement de ce que nous exposerons dans la section suivante.

Après Euler, Legendre s’est livré à la même recherche, dans un excellent Traité intitulé : Recherches d’Analyse indéterminée (Hist. de l’Acad. des Sciences, 1785, p. 465). Il y est parvenu à un théorème qui, dans le fond, revient au théorème fondamental ; savoir, que si $p$ et $q$ sont deux nombres premiers positifs, les résidus minima absolus des puissances $p^{\frac {q-1}{2}},q^{\frac {p-1}{2}},$ suivant les modules $q$ , $p$ , respectivement, seront tous les deux $+1$

ou $-1$ , quand l’un des deux est de la forme $4n+1$ ; mais que

↑ Comme il l’avoue lui-même, p. 216. « Hujus elegantissimi theorematis demonstratio ad huc desideratur, postquàm à pluribus jamdudum frustra est investigata…… Quocirca plurimùm is prœstitisse censendus erit, cui successerit demonstrationem hujus theorematis invenire ». On peut voir dans les Opusc. anal, (Τ. I, Additamentum ad disert. viii, et Τ. II, dissert. XIII), et dans plusieurs Dissertations des Comment. de Pétersb., avec quelle ardeur cet homme immortel a cherché la démonstration de ce théorème, et de quelques autres qui ne sont que des cas particuliers de notre théorème fondamental.

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[1] Comme il l’avoue lui-même, p. 216. « Hujus elegantissimi theorematis demonstratio ad huc desideratur, postquàm à pluribus jamdudum frustra est investigata…… Quocirca plurimùm is prœstitisse censendus erit, cui successerit demonstrationem hujus theorematis invenire ». On peut voir dans les Opusc. anal, (Τ. I, Additamentum ad disert. viii, et Τ. II, dissert. XIII), et dans plusieurs Dissertations des Comment. de Pétersb., avec quelle ardeur cet homme immortel a cherché la démonstration de ce théorème, et de quelques autres qui ne sont que des cas particuliers de notre théorème fondamental.

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