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RECHERCHES

d’un des facteurs de $A,$ ce facteur sera résidu ou non-résidu de $p$ (théor. fond.) ; donc si parmi les facteurs de $A$, il y en a $m$ dont $p$ soit non-résidu, il y en aura autant qui seront non-résidus de $p$, et partant, lorsque $p$ sera contenu dans l’une des premières formes, $m$ sera pair et $ARp$, et lorsque $p$ sera contenu dans une des dernières, $m$ sera impair et $ANp$.

Exemple. Soit $A=+105=-3\times +5\times -7$ ; les nombres $r$, $r'$, $r''$, etc. sont :

$1$,	$4$,	$16$,	$46$,	$64$,	$79$,	qui ne sont non-résidus d’aucun fact. ;
$2$,	$8$,	$23$,	$32$,	$53$,	$92$,	qui sont non-résidus de $3$ et $5$ ;
$26$,	$41$,	$59$,	$89$,	$101$,	$104$,	qui sont non-résidus de $3$ et $7$.
$23$,	$52$,	$73$,	$82$,	$97$,	$103$,	qui sont non-résidus de $5$ et $7$.

les nombres $n$, $n',$ $n'',$ etc. sont :

$11$,	$29$,	$44$,	$71$,	$74$,	$86$,	non-résidus de $3$ ;
$22$,	$37$,	$43$,	$58$,	$67$,	$88$,	non-résidus de $5$ ;
$19$,	$31$,	$34$,	$61$,	$76$,	$94$,	non-résidus de $7$ ;
$17$,	$38$,	$47$,	$62$,	$68$,	$83$,	non-résidus de $3$, $5$ et $7$.

On déduit facilement de la théorie des combinaisons et des n^os (32, 96) que la multitude des nombres $r$, $r'$, etc. sera

$t\left(1+{\frac {l(l-1)}{1.2}}+{\frac {l(l-1)(l-2)(l-3)}{1.2.3.4}}\,+\,{\text{etc.}}\right),$

et celle des nombres $n$, $n'$, etc.

$t\left(l+{\frac {l(l-1)(l-2)}{1.2.3}}+{\frac {l(l-1)(l-2)(l-3)(l-4)}{1.2.3.4.5}}\ +\ {\text{etc.}}\right)$

$l$ désignant le nombre des facteurs $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ etc., $t$ étant $=2^{-l}(a-1)(b-1)(c-1)$ etc., et chaque série devant être continuée jusqu’à ce qu’elle s’arrête d’elle-même. (En effet il y a $t$ nombres résidus de $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ etc., $t.{\frac {l(l-1)}{1.2}}$ non-résidus de deux de ces facteurs, etc. Mais pour abréger, nous sommes forcés de ne pas donner plus de développement à la démonstration). Or chacune des séries a pour somme $t.2^{l-1}\,;$ car la pre-

mière